1)ξ不再是其它特征值的特征向量 2)(2,5)是A的特征对:进一步,(o(4),5)是()的特征对,其中 q()=a0+a1+…+a,2,(A)=a01+a14+…+a,A 3)若A可逆,则(12,5)是A-的特征对 证明1)假设5=A2=1,A≠H。故(4-1)5=,因为5≠6,A={,矛盾。 2)由A25=25,类似可得A=5,这表明(,)是A4的特征对。进一步有 (A)5=(a0I+a1A+…+a,A)=(a0+a14+…+a32°)5=p(1)5 3)若A可逆,则4≠0。由A5=A,可得A5=(1/A)2 定理3设51,523…,5m分别是A的属于互不相同的特征值A1,A2,…,m的特征向量,则 51,52,…,m线性无关。 证明归纳法。当m=1,结论成立(因51≠)。设m=k时结论成立,当m=k+1,设 a151+a252+…+ak5k+ak+15k1=6, 则A(a151+a1252 ak+5k+)=6,即 a14151+a2252+…+akk5k+ak+1k+15k4=b (2) 将(1)式乘以入41,再减去(2)式得 a1(+-1)1+a2(4+1-2)2+…+a4(+1-A1)k=6 因为51,52,…5线性无关,故a1(4k+1-1)=0,而入+1≠1,所以a1=0,(i=1,2,…,k) 代入(1)式,得ak15k=0因为k1≠日,所以ak1=0,故51,52,…5k线性无关 例1求A=121的特征值和特征向量79 1）  不再是其它特征值的特征向量； 2）（ k  ， ）是 k A 的特征对；进一步，（ () ， ）是 (A) 的特征对，其中 s s s () = a0 + a1 ++ as ,(A) = a0 I + a1A ++ a A 。 3）若 A 可逆，则（ 1/ ， ）是 −1 A 的特征对。 证明 1）假设  = A =  ，   。故 ( − ) =  ，因为    ， =  ，矛盾。 2）由  2 A   2 = ，类似可得    k k A = ，这表明( k  , )是 k A 的特征对。进一步有 (A)  = ( 0 1 ) s a I + a A ++ as A =（ s a0 + a1 ++ as ) =()  . 3）若 A 可逆，则   0 。由 A =  ，可得  (1/ ) 1 = − A . ■ 定理 3 设    m , , , 1 2  分别是 A 的属于互不相同的特征值    m , , , 1 2  的特征向量，则    m , , , 1 2  线性无关。 证明 归纳法。当 m =1 ，结论成立（因  1  ）。设 m = k 时结论成立，当 m = k +1 ，设 a1 1 + a2 2 ++ ak k + ak+1 k+1 = ， （1） 则 A(a1 1 + a2 2 +ak k + ak+1 k+1 ) = ，即 a11 1 + a22 2 ++ akk k + ak+1k+1 k+1 = （2） 将（1）式乘以 k+1 ，再减去（2）式得 a1 (k+1 − 1 ) 1 + a2 (k+1 − 2 ) 2 ++ ak (k+1 − k ) k = 因为    k , , , 1 2  线性无关，故 ai (k+1 − i ) = 0 ,而 k+1  i ，所以 ai = 0 ，(i = 1,2,  , k) . 代入（1）式，得 ak+1 k+1 = .因为  k+1   ，所以 ak+1 = 0 ，故 1 2 1 , , ,     k+ 线性无关。 ■ 例１ 求 A =           1 1 2 1 2 1 2 1 1 的特征值和特征向量