(3)是关于A的一元n次方程,称为方阵A的特征方程,而它左端的n次多项式 f(4)=f()=-4 称为A的特征多项式。表明A的特征值是特征方程(3)的根或f4()的零点。n次多项式恰 有n个零点,故n阶方阵A恰有n个特征值。但需注意两点: )n个特征值中有可能是相同的,称为重特征值,即是f(4)=0的重根。如单位矩阵 2)即便A为实方阵,其特征值也可能是复数。例如/0 则 10 22+1 A的特征值为λ=±√-1=±i.但根据多项式理论,实矩阵的复特征值是成对出现的 定理1设礼,2…是A-n)的n个特征值,则 °)∑λ 2)∏14=|4 证明由条件-4=(2-1)A-2)…(A-) (4) 2-C∑4)m+…+(-1)”∏4 另一方面,由行列式定义,|/-4中含有”的只有一项: d1=(2-a1)-a2)…(-am)= 且在-4中,-也只出现在d中,故1°)成立:在(4)式中令=0,2°)成立 推论1方阵A可逆当且仅当它的特征值全不为0。 定理2设是A=(an)的特征值,5是对应的特征向量,则78 (3) 是关于  的一元 n 次方程，称为方阵 A 的特征方程，而它左端的 n 次多项式 f () = () A f = I − A 称为 A 的特征多项式。表明 A 的特征值是特征方程(3)的根或 () A f 的零点。n 次多项式恰 有 n 个零点，故 n 阶方阵 A 恰有 n 个特征值。但需注意两点： 1）n 个特征值中有可能是相同的，称为重特征值，即是 () A f = 0 的重根。如单位矩阵。 2）即便 A 为实方阵，其特征值也可能是复数。例如 A =         − 1 0 0 1 ，则 I − A =   1 1 − = 1 2  + . A 的特征值为  =  −1 =  i. 但根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的。 定理 1 设   n , , , 1 2  是 A = ( ) n n aij  的 n 个特征值，则 1º)   = = = n i n i i aii 1 1  = trA 2º) A n i  i = =1  . 证明 由条件 I − A = ( )( ) ( )  1  2  − n − −  （4） =  = − = − +  + − n i i n n n i i n 1 1 1  (  ) ( 1)  另一方面，由行列式定义， I − A 中含有 n  的只有一项： = − −  − = − − + =  1 1 1 11 22 ( )( ) ( ) n n i i i n d  a  a  an n  a  且在 I − A 中， n−1  也只出现在 1 d 中，故 1º)成立；在（4）式中令  = 0 ， 2º）成立。 ■ 推论 1 方阵 A 可逆当且仅当它的特征值全不为 0。 ■ 定理 2 设  是 A = ( ) n n aij  的特征值，  是对应的特征向量，则