第五章特征值问题及二次型 要求: 1)理解矩阵特征值特征向量的概念:掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法 2)理解相似矩阵的概念及性质,掌握矩阵对角化的充分必要条件。 3)理解向量的内积与正交的概念:掌握向量组正交化过程:理解正交矩阵的概念。 4)理解实对称矩阵有关特征值特征向量性质:会用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩 5)了解二次型及其矩阵表示;了解二次型的标准型。 6)会用正交变换法和配方法化二次型为标准型 7)了解二次型的秩、惯性定理、正定性:掌握正定矩阵的判别。 51矩阵的特征值问题 知识点:矩阵特征值特征向量的概念:计算矩阵特征值特征向量的方法。矩阵特征值的一些 基本性质。 定义1(特征值特征向量)设A是n阶方阵,若存在数λ和非零向量x,使得 Ax=dx 则称A为A的特征值,称x为A的属于(或对应于)的特征向量。有时也称(,x)是A 的特征对 注意特征值特征向量是针对方阵定义的。另外零向量⊙总满足(1)式,但6不是特征向量。 (1)可写成 (I-A)x=8 设A=(an),对于固定的,(2)是关于x的齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是 (3)77 第五章 特征值问题及二次型 要求： 1）理解矩阵特征值特征向量的概念；掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法。 2）理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充分必要条件。 3） 理解向量的内积与正交的概念；掌握向量组正交化过程；理解正交矩阵的概念。 4）理解实对称矩阵有关特征值特征向量性质；会用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩 阵。 5）了解二次型及其矩阵表示；了解二次型的标准型。 6）会用正交变换法和配方法化二次型为标准型。 7）了解二次型的秩、惯性定理、正定性；掌握正定矩阵的判别。 5.1 矩阵的特征值问题 知识点：矩阵特征值特征向量的概念；计算矩阵特征值特征向量的方法。矩阵特征值的一些 基本性质。 定义 1 （特征值特征向量）设 A 是 n 阶方阵，若存在数  和非零向量 x，使得 A x =  x (1) 则称  为 A 的特征值，称 x 为 A 的属于(或对应于)  的特征向量。有时也称（  ，x）是 A 的特征对。 注意特征值特征向量是针对方阵定义的。另外零向量  总满足(1)式，但  不是特征向量。 (1)可写成 (I − A) x= (2) 设 A =( ij a )，对于固定的  ，(2)是关于 x 的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是 I − A = n n nn n n a a a a a a a a a − − − − − − − − −    ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 =0 (3)