分方程 (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y(0)=的解 【分析】将女转化为少比较简单,女=1=1,关键是应注意 d y dy d d dx. d dx 然后再代入原方程化简即可 【详解】(1)由反函数的求导公式知 ,于是有 dy dydy 代入原微分方程得 (2)方程(*)所对应的齐次方程y”-y=0的通解为 Y=C 设方程(*)的特解为 y=Acos x+ Bsin x, 代入方程(*),求得A=0,B=-,故y=-Snx,从而y"-y=snx的通解是 r+y =Cle+C 由y(0)=0,y(0)=,得C1=1,C2=-1.故所求初值问题的解为 【评注】本题的核心是第一步方程变换,完全类似例题见《数学复习指南》P53的【例 .8】和P59的【例222】 七、(本题满分12分) 讨论曲线y=4血x+k与y=4x+h4x的交点个数9 分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 2 3 y(0) = 0, y (0) = 的解. 【分析】 将 dy dx 转化为 dx dy 比较简单， dy dx = y dx dy  = 1 1 ，关键是应注意： ( ) 2 2 dy dx dy d dy d x = = dy dx dx y d   ) 1 ( = 2 3 ( ) 1 y y y y y   = −    −  . 然后再代入原方程化简即可. 【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 dy y dx  = 1 ，于是有 ( ) 2 2 dy dx dy d dy d x = = dy dx dx y d   ) 1 ( = 2 3 ( ) 1 y y y y y   = −    −  . 代入原微分方程得 y  − y = sin x. ( * ) (2) 方程( * )所对应的齐次方程 y  − y = 0 的通解为 . 1 2 x x Y C e C e − = + 设方程( * )的特解为 y Acos x Bsin x * = + ， 代入方程( * )，求得 2 1 A = 0, B = − ，故 y sin x 2 * 1 = − ，从而 y  − y = sin x 的通解是 sin . 2 1 1 2 * y Y y C e C e x x x = + = + − − 由 2 3 y(0) = 0, y (0) = ，得 C1 =1,C2 = −1. 故所求初值问题的解为 sin . 2 1 y e e x x x = − − − 【评注】 本题的核心是第一步方程变换，完全类似例题见《数学复习指南》P.53 的【例 2.8】和 P.59 的【例 2.22】. 七 、（本题满分 12 分） 讨论曲线 y = 4ln x + k 与 y x x 4 = 4 + ln 的交点个数