【分析】问题等价于讨论方程h4x-4hx+4x-k=0有几个不同的实根.本题相当 于一函数作图题,通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数(与ⅹ轴交点的个数) 【详解】设(x)=hnx-4hx+4x-k,↑y 则有(x) 4(h3x-1+x) 4-k 不难看出,x=1是q(x)的驻点 当0<x<1时,g(x)<0,即q(x)单调减少;当x>1时,φ(x)>0,即φ(x)单调 增加,故()=4-k为函数q(x)的最小值 当k<4,即4k>0时,(x)=0无实根,即两条曲线无交点; 当k=4,即4k=0时,g(x)=0有唯一实根,即两条曲线只有一个交点 当k>4,即4k<0时,由于 lm (x)=lim [n x(h'x-4)+4x-k]=+oo Im (x)=lim [n x(nx-4)+4x-k]=+oo 故q(x)=0有两个实根,分别位于(0,1)与(1,+∞)内,即两条曲线有两个交点 【评注】讨论曲线与坐标轴的交点,在构造辅助函数时,应尽量将待分析的参数分离 开来,使得求导后不含参数,便于求驻点坐标 完全类似例题见《数学复习指南》P192的【例724】和《数学题型集粹与练习题集》 P89的【例6.18-19】以及《文登数学全真模拟试卷》数学二P1第二大题第(2)小题. 八、(本题满分12分) 设位于第一象限的曲线y=x)过点(22 ),其上任一点Pxy)处的法线与y轴的 交点为Q,且线段PQ被x轴平分 (1)求曲线y=f(x)的方程 (2)已知曲线y=sinx在[0,x]上的弧长为l,试用/表示曲线y=f(x)的弧长s 【分析】(1)先求出法线方程与交点坐标Q,再由题设线段PQ被x轴平分,可转化为 微分方程,求解此微分方程即可得曲线y=(x)的方程.(2)将曲线y=(x)化为参数方程,再 利用弧长公式s=[√x2+y2d进行计算即可 【详解】(1)曲线y=(x)在点P(xy)处的法线方程为10 【分析】问题等价于讨论方程 ln 4ln 4 0 4 x − x + x − k = 有几个不同的实根. 本题相当 于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与 x 轴交点的个数）. 【详解】 设 (x) = ln x − 4ln x + 4x − k 4 ， y 则有 . 4(ln 1 ) ( ) 3 x x x x − +  = 4-k 不难看出，x=1 是 (x) 的驻点. O 1 x 当 0  x 1 时， (x)  0 ，即 (x) 单调减少；当 x>1 时， (x)  0 ，即 (x) 单调 增加，故 (1) = 4 − k 为函数 (x) 的最小值. 当 k<4，即 4-k>0 时， (x) = 0 无实根，即两条曲线无交点； 当 k=4，即 4-k=0 时， (x) = 0 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k>4，即 4-k<0 时，由于 = − + − = + → + → + lim ( ) lim [ln (ln 4) 4 ] 3 0 0 x x x x k x x  ； = − + − = + →+ →+ lim ( ) lim [ln (ln 4) 4 ] 3 x x x x k x x  ， 故 (x) = 0 有两个实根，分别位于(0,1)与 (1,+) 内，即两条曲线有两个交点. 【评注】 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离 开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标. 完全类似例题见《数学复习指南》P.192 的【例 7.24】和《数学题型集粹与练习题集》 P.89 的【例 6.18-19】以及《文登数学全真模拟试卷》数学二 P.1 第二大题第（2）小题. 八 、（本题满分 12 分） 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ) 2 1 , 2 2 ( ，其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的 交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程； (2) 已知曲线 y=sinx 在 [0, ] 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y=f(x)的弧长 s. 【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标 Q，再由题设线段 PQ 被 x 轴平分，可转化为 微分方程，求解此微分方程即可得曲线 y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再 利用弧长公式 s x y dt b a =  +  2 2 进行计算即可. 【详解】 (1) 曲线 y=f(x)在点 P(x,y)处的法线方程为