(2)解一:设x=r(0)cos,y=r(O)sin,a=r(a)cosa,b=r(B)cosB 则 V=72dx-3mar2(asin2a+ rbr2(B)sin2B J8my-dx+i od(vx)=jasin 0(/'cose-rsineyde T[13r2r'sin20 cos+2rsin 8 cos20-r3sin'8k 2T( r(0)sin Ode 解二:首先,由0≤θ≤B≤π0≤r≤a所表示的扇形区域绕极轴旋转一 周所成的旋转体的体积为 a sin (a'-x dx=(1-cos B)ao 然后作[a,月的划分:a=60<6<2<…<n=B,考察由 θ≤θ≤θ,0≤r≤r(θ)所表示的小曲边扇形区域绕极轴旋转一周所成 的旋转体的体积,这小区域可近似看作扇形,于是这小块的体积应近 似等于 △2zr(a - cOs 3r(0)(1-cos0-0)=r(0).sin 8, A0, 从而 r=∑2r(a)si△B。 令=max(△O)→0,就有 r(0)sin 0de 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积: ,绕x轴 (2)y=sinx,y=0,0≤x ①绕x轴,②绕y轴(2) 解一： 设 x = r(θ ) cosθ , y = r(θ )sinθ , a = r(α) cosα , b = r(β ) cos β , 则 = ∫ a b V y dx 2 π π α α 2 2 ( )sin 3 1 − ar π β β 2 2 ( )sin 3 1 + br = ∫ a b y dx 2 π + ∫ b a d( y x) 3 1 2 π = ∫ − α β πr sin θ (r'cosθ rsinθ )dθ 2 2 ( ) + ∫ + − β α π r r θ θ r θ θ r θ dθ 2 2 3 2 3 3 3 'sin cos 2 sin cos sin 3 1 = ∫ β α θ θ θ π r ( )sin d 3 2 3 。 解二： 首先，由0 ≤ θ ≤ β ≤ π ,0 ≤ r ≤ a 所表示的扇形区域绕极轴旋转一 周所成的旋转体的体积为 3 cos 2 2 2 2 (1 cos ) 3 2 sin cos ( ) 3 V a a a x dx a a a β π β β π π β = + − = − ∫ 。 然后作[α, β ]的划分：α = θ 0 < θ1 < θ 2 < " < θ n = β ，考察由 , 0 ( ) θ i−1 ≤ θ ≤ θ i ≤ r ≤ r θ 所表示的小曲边扇形区域绕极轴旋转一周所成 的旋转体的体积，这小区域可近似看作扇形，于是这小块的体积应近 似等于 3 3 1 2 2 ( )(1 cos ) ( )(1 cos ) 3 3 V r i i i i i r π π ∆ ≈ θ − θ θ − − θ − i i i r θ θ θ π ≈ ( )⋅sin ∆ 3 2 3 ， 从而 ∑= ≈ ∆ n i i i i V r 1 3 ( )sin 3 2 θ θ θ π 。 令 max( ) 0 1 = ∆ → ≤ ≤ i i n λ θ ，就有 V r = ∫ 2 3 3 π θ θ α β ( )sin dθ 。 ⒎ 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积： （1） x a y b 2 2 2 2 + = 1，绕x 轴； （2） y x = sin ， y = 0，0 ≤ x ≤ π， ① 绕x 轴， ② 绕 y 轴； 237