A(x)=2/-x2 a2-x2-y2dy=2vax-x2va2-ax+2(a2-x2)arcsin a+x 由 (a2-x2)arcsin -dx=arcsin -d(ax-x) a+x a+x (a'x--xarcsin dx=(-.)a a+xo Jo 2√x(a+x) 及 ,小Va-x-a=、R3)=15, 6.证明以下旋转体的体积公式: (1)设f(x)≥0是连续函数,由0≤a≤x≤b,0≤y≤f(x)所表示的区 域绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为 V=2r xf(x)dx: (2)在极坐标下,由0≤α≤θ≤β≤π,0≤r≤r(θ)所表示的区域绕极 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 3Jor(0)sin ede 证(1)作区间anb的划分P:a=x0<x1<x2<…<xn=b,则关于小区域 (xy)x1≤x≤x1,0≤y≤/(}绕y轴旋转所得的体积有 △1≈m(x2-x1)f(x1)≈2m,f(x,)Ax2° 设=max(Ax),令→0,就有 V=2r xf(x)dx 36∫ − − − = − − 2 2 2 2 2 ( ) 2 ax x ax x A x a x y dy a x x ax x a ax a x + = 2 − − + 2( − ) arcsin 2 2 2 2 。 由 ) 3 1 ( ) arcsin arcsin ( 2 3 0 0 2 2 d a x x a x x dx a x x a x a a − + = + − ∫ ∫ ∫ + − − + = − a a dx x a x a a x x a x x a x x 0 2 3 0 2 3 2 ( ) ) 3 1 ) arcsin ( 3 1 ( 3 ) 45 32 3 = ( − a π ， 及 3 0 0 2 2 15 4 ax x a axdx a x (a x)dx a a a − − = − = ∫ ∫ ， 得到 3 ) 9 8 3 2 V = ( − a π 。 ⒍ 证明以下旋转体的体积公式： ⑴ 设 f x( ) ≥ 0是连续函数，由0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)所表示的区 域绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ∫ = b a V 2π xf (x)dx； ⑵ 在极坐标下，由0 ≤ α ≤ θ ≤ β ≤ π, 0 ≤ r r ≤ (θ) 所表示的区域绕极 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ∫ = β α θ θ θ π V r ( )sin d 3 2 3 。 证（1）作区间[a,b]的划分P : a = x0 < x1 < x2 < " < xn = b , 则关于小区域 {( , ) , 0 ( ) 1 x y x x x y f x i− ≤ ≤ i ≤ ≤ } 绕 y 轴旋转所得的体积有 ( ) ( ) 2 1 2 i i i i V x x f x ∆ ≈ π − − i i i ≈ 2πx f (x )∆x 。 设 max( ) 1 i i n = ∆x ≤ ≤ λ ，令λ → 0，就有 = ∫ 。 b a V 2π xf (x)dx 236