L (6)L=「√r2+r"2do=[-2asin9d=8a。 (7)L= rde= a +1d=m1+4x2+ln2x+V1+4x2) (8)L=√2+r2d0=「asin2dO=2ra 4.在旋轮线的第一拱上,求分该拱的长度为1:3的点的坐标。 解设所求点所对应的参数为a,则 L,= va 1-cos)2+a2sin2tdt=4a(l-cos " L2=D(1-9+asm=4+02y, 由L2=3L,得c0=1,即a=2x,所以该点的坐标为(2x-33)。 5.求下列几何体的体积: (1)正椭圆台:上底是长半轴为a、短半轴为b的椭圆,下底是 长半轴为A、短半轴为B的椭圆(A>a,B>b),高为h; (2)椭球体 (3)直圆柱面x2+y2=a2和x2+z2=a2所围的几何体; (4)球面x2+y2+2=a2和直圆柱面x2+y2=ax所围的几何体 解(1)F=z(a+n2x(b+ x=的 B-b (2AB+2ab+Ab+aB) h (2)=m加1- (3)用平行于0y平面的平面去截这立体的第一卦限的部分,截 面为正方形,于是 (a -x dx==a 4)用平行于0y平面的平面去截这立体,则截面积为 2352 2 0 L atdt 2 π = = π a ∫ 。 （6） 2 2 2 2 0 0 2 sin 8 2 L r r d a d a π π θ = + ′ θ θ = = ∫ ∫ 。 （7） 2 2 2 2 2 0 0 L r r d a 1d π π = + ′ θ = θ θ + = ∫ ∫ ( ) 2 2 ln 2 1 4 2 π 1+ 4π + π + + π a a 。 （8） 3 3 2 2 2 0 0 3 sin 3 2 L r r d a d a π π θ = + ′ θ = θ = π ∫ ∫ 。 ⒋ 在旋轮线的第一拱上，求分该拱的长度为 1:3 的点的坐标。 解 设所求点所对应的参数为α ，则 ) 2 (1 cos ) sin 4 (1 cos 0 2 2 2 2 1 α α = − + = − ∫ L a t a tdt a ， ) 2 (1 cos ) sin 4 (1 cos 2 2 2 2 2 2 π α α = − + = + ∫ L a t a tdt a ， 由L2 = 3L1，得 2 1 2 cos = α ，即α π 3 2 = ，所以该点的坐标为 ) 2 3 ) , 2 3 3 2 (( a π − a 。 ⒌ 求下列几何体的体积： ⑴ 正椭圆台：上底是长半轴为 、短半轴为 的椭圆，下底是 长半轴为 a b A、短半轴为 B 的椭圆（ A a > , B > b），高为h； ⑵ 椭球体 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1； ⑶ 直圆柱面 x y 2 2 + = a2和 x z a 2 2 2 + = 所围的几何体； ⑷ 球面 x y 2 2 + + z 2 = a2和直圆柱面 x y ax 2 2 + = 所围的几何体。 解（1） 0 ( )( ) (2 2 6 h A a B b h V a x b x dx AB ab Ab a h h B) π π − − = + + = + + + ∫ 。 （2） dz abc c z V ab c c π π 3 4 (1 ) 2 2 = − = ∫− 。 （3）用平行于 平面的平面去截这立体的第一卦限的部分，截 面为正方形，于是 0yz 3 0 2 2 3 16 V 8 (a x )dx a a = − = ∫ 。 （4）用平行于0yz平面的平面去截这立体，则截面积为 235