由 (a)=2a2 8a- cosa ( cos a)-(I-cosa) sin a 令A(a)=0,得到a=x。由于当a<z时,A(a)<0;当a>x时, A(a)>0,所以4(a)在a=x取到极小值,也就是最小值x): AG- (1 6、,610 3.求下列曲线的弧长: (1)y=x32,0≤x≤4 y 42 (3)y= In cos x,0≤x≤a<; (4)星形线 0≤t≤2π; y=asin (5)圆的渐开线 x=a(cost+tsin t) y=a(sint-t cost) (6)心脏线r=a(1-cos),0≤0≤2π (7)阿基米德螺线r=ae,0≤θ≤2π; 0≤6≤3 解(1)L 0-8 (2)L= )dy= (+y )dy= 2 (3)L=Vi+tan xdxJ sec xdr=In(tan a+ seca) (4)L=4[ 3asint cos tdx=6a (5)由x(t)= at cost,y()= at sin t,可得由 α α α α α 4 2 2 2 2 sin 8 cos (1 cos ) 1 (1 cos ) 1 '( ) 2 a A a = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = ， 令 A'(α) = 0 ，得到 2 π α = 。由于当 2 π α < 时， A'(α) < 0；当 2 π α > 时， A'(α) > 0 ，所以 A(α)在 2 π α = 取到极小值，也就是最小值 ) 2 ( π A ： ) 2 ( π A 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 10 2 ) cot 2 (1 cot (1 cos ) 1 2a d = −a + d = a − = ∫ ∫ π π π π θ θ θ θ 。 ⒊ 求下列曲线的弧长： ⑴ y x = ，0 4 3 2/ ≤ x ≤ ； ⑵ x y y = − 2 4 2 ln ，1 ≤ y ≤ e； ⑶ y x = ln cos ，0 2 ≤ ≤ x a < π ； ⑷ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π ⑸ 圆的渐开线 ； x a t t t y a t t t t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ (cos sin ), (sin cos ), 0 2π ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，0 2 ≤ θ ≤ π； ⑺ 阿基米德螺线r a = θ, 0 2 ≤ θ ≤ π； ⑻ 3 sin3 θ r = a ，0 ≤ θ ≤ 3π 。 解（1） = + = ∫ 4 0 4 9 L 1 xdx 27 80 10 − 8 。 （2） 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 4 2 e e e L y y dy y y dy − − 1 4 + = + − = + = ∫ ∫ 。 （3） 2 0 0 1 tan sec ln(tan sec ) a a L x = + dx = xdx = a + ∫ ∫ a 。 （4） 2 0 L 4 3a t sin costdx 6 π = = ∫ a。 （5）由 x′( )t a = t cost, y′( )t = atsin t ，可得 234