a= 3a (1-2l rla 2ay"a 3 ou 解二:将x=rcos0,y=rsin代入x3+y3=3ay中,得到 basin ee 6∈[0,=] in 0+cos 0 于是面积 in-0cos 0 tan- A d tan 6 sin+ cos0) 2J6(tan3O+1)2 2 tan 0+1 (15)将x=rcos,y=rsin0代入x++y+=a2(x2+y2)中,得到 n40+cos 40 于是面积 d lo sin 40+cos 0 令 O,则 t2+1 A=2a d=2a2「 d(t-t") =√2a2 arctan t4+1 (-1-)2+2 2.求由抛物线y2=4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。 解选取焦点(a0)为极点,x轴为极轴,建立极坐标。则由 x=rcos+a,y=rsin代入抛物线的方程y2=4ax中,可得抛物线的极 坐标方程为 2a。 设过焦点的弦的极角为a,则它与抛物线所围的面积为 A(a) 2 233A = 2 0 2 3 2 0 3 2 2 3 (1 ) 3 (1 ) 2 3 (1 ) (1 2 ) 3 du a u u du a u u a = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = + − ∫ ∫ +∞ +∞ 。 解二： 将 x = r cosθ , y = rsinθ 代入 x y ax 3 3 + = 3 y 中，得到 θ θ θ θ 3 3 sin cos 3 sin cos + = a r ， ] 2 [0, π θ ∈ ， 于是面积 ∫ ∫ + = + = 2 0 3 2 2 2 2 0 3 3 2 2 2 2 tan (tan 1) tan 2 9 (sin cos ) sin cos 2 9 π π θ θ θ θ θ θ θ θ d a d a A 2 0 2 3 2 2 3 tan 1 1 2 3 a a = + = − ⋅ π θ 。 （15）将 x = r cosθ , y = rsinθ 代入 x y a x y 4 4 2 2 2 + = ( + )中，得到 θ θ 4 4 2 2 sin + cos = a r ， 于是面积 ∫ ∫ + + = + = ⋅ 2 0 4 2 2 2 0 4 4 2 tan tan 1 tan 1 2 2 sin cos 1 4 π π θ θ θ θ θ θ d a d a A ， 令t = tanθ ，则 ∫ ∫ +∞ − − +∞ − + − = + + = 0 1 2 1 2 0 4 2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 1 2 t t d t t dt a t t A a 2 0 1 2 2 2 2 arctan a t t a = π − = +∞ − 。 ⒉ 求由抛物线 y 2 = 4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。 解 选取焦点(a,0)为极点, x轴为极轴，建立极坐标。 则由 x = r cosθ + a, y = rsinθ 代入抛物线的方程 y a 2 = 4 x 中，可得抛物线的极 坐标方程为 1 cosθ 2 − = a r 。 设过焦点的弦的极角为α ，则它与抛物线所围的面积为 ∫ + − = α π α θ θ α d a A 2 2 (1 cos ) 4 2 1 ( ) 。 233