张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 2应用事例 21有关向量组的应用 引理21(向量组线性相关性的外积表示),向量组{9}=1CRm线性相关的充分必要条件 为 91 0∈A(Rm) 证明可直接基于运算,证明充分必要性 1.证明必要性.设有{91}=1cRm线性相关,需证g1A…∧9n=0∈Ar(Rm) 由于{9}1线性相关,不妨设有9=91+…+-191 ∈Rm,故有 g1∧…∧9r-1∧ A9-1^(c191 0+…+0+0=0∈A(R") 2.证明充分性设有91A…^9r=0∈A(Rm),需证{g}=1cRm线性相关 利用反证法,设{9}=1线性无关,可补充{g}=+1使得{g1}=1U{9}=r+1为Rm的 组基,由此存在对偶基{g"}a=1.考虑到 (91, g)Rm 919)Rm 91A…∧g(9 det l= 1 (9r,91)Rm…(g,g)R 即有g1A…∧9≠0∈A(Rm),即得矛盾. 由引理2.1(第8页)可得如下引理 引理22(向量组线性无关性的外积表示).向量组{g2}=1cRm线性无关的充分必要条件 为 9 9r≠0∈A(R") 按引理21(第8页)和引理22(第8页),可有两向量组之间的关系 引理2.3( Cartan引理).设有向量组{u}=1,{vt}=1cRmn,满足 ∑uA=0∈A(Rm) 如有{v}=1线性无关,则有 P 且B;=P3,ij=1,张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 2 应用事例 2.1 有关向量组的应用 引理 2.1 (向量组线性相关性的外积表示). 向量组 {gi} r i=1 ⊂ R m 线性相关的充分必要条件 为 g1 ∧ · · · ∧ gr = 0 ∈ Λ r (R m). 证明 可直接基于运算, 证明充分必要性. 1. 证明必要性. 设有 {gi} r i=1 ⊂ R m 线性相关, 需证 g1 ∧ · · · ∧ gr = 0 ∈ Λ r (R m). 由于 {gi} r i=1 线性相关, 不妨设有 gr = c1g1 + · · · + cr−1gr−1 ∈ R m, 故有 g1 ∧ · · · ∧ gr−1 ∧ gr = g1 ∧ · · · ∧ gr−1 ∧ ( c1g1 + · · · + cr−1gr−1 ) = 0 + · · · + 0 + 0 = 0 ∈ Λ r (R m). 2. 证明充分性. 设有 g1 ∧ · · · ∧ gr = 0 ∈ Λ r (R m), 需证 {gi} r i=1 ⊂ R m 线性相关. 利用反证法, 设 {gi} r i=1 线性无关, 可补充 {gj} m j=r+1 使得 {gi} r i=1 ∪ {gj} m j=r+1 为 R m 的 一组基, 由此存在对偶基 {g α} m α=1. 考虑到 g1 ∧ · · · ∧ gr (g 1 , · · · , g r ) =         (g1 , g 1 )Rm · · · (g1 , g r )Rm . . . . . . (gr , g 1 )Rm · · · (gr , g r )Rm         = det Ir = 1, 即有 g1 ∧ · · · ∧ gr ̸= 0 ∈ Λ r (R m), 即得矛盾. 由引理2.1(第8页) 可得如下引理. 引理 2.2 (向量组线性无关性的外积表示). 向量组 {gi} r i=1 ⊂ R m 线性无关的充分必要条件 为 g1 ∧ · · · ∧ gr ̸= 0 ∈ Λ r (R m). 按引理2.1(第8页) 和引理2.2(第8页), 可有两向量组之间的关系. 引理 2.3 (Cartan 引理). 设有向量组 {ui} r i=1, {vi} r i=1 ⊂ R m, 满足 ∑r i=1 ui ∧ vi = 0 ∈ Λ 2 (R m). 如有 {vi} r i=1 线性无关, 则有 ui = ∑r s=1 Psivs, i = 1, · · · , r, 且 Pij = Pji, i, j = 1, · · · , r. 8