张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明由于{u;}=1cRm线性无关,则可补充{vr+1,……,Um}cRm,使得{va}a=1为Rm 的一组基.由此有 PUo∧v i=1a=1 Pyv∧ Pau j=r+1 =∑(P;-B3)0Av1+∑∑P(Av1∈A(Rm), i=l j=r 考虑到{ BAVa}sB<a≤m为A2(Rm)的一个基,有 Pig=Pj 0 故有 P 引理24(两向量组之间的关系).设有V{u21}=1,{;m1}=1CRm为两个向量组,如有 {u;,v}=1CRm线性无关; 2.u2∧v ∈;An1∈A(Rm), i=1 则有1,m}=1CRm线性无关,且{51,m}=1可由{u2,v}=1线性表示 证明计算 ∧1+……+ urAUr)∧…∧(u1∧v1+ ∧a(m g27)u1A1)A…A(xA =r!1∧u1∧…∧ur∧r, 故有 71 由{u2v;}=1CRm线性无关,故上式为非零2r-形式.按向量组线性无关的外积表示,可有 {n1}=1CRm线性无关张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明 由于 {vi} r i=1 ⊂ R m 线性无关, 则可补充 {vr+1, · · · , vm} ⊂ R m, 使得 {vα} m α=1 为 R m 的一组基. 由此有 ui = ∑m α=1 Pαivα, i = 1, · · · , r. 由 0 = ∑r i=1 ui ∧ vi = ∑r i=1 ∑m α=1 Pαivα ∧ vi = ∑r i=1 ∑r j=1 Pjivj ∧ vi + ∑r i=1 ∑m j=r+1 Pjivj ∧ vi = ∑ 16j<i6r (Pji − Pij )vj ∧ vi + ∑r i=1 ∑m j=r+1 Pjivj ∧ vi ∈ Λ 2 (R m), 考虑到 {vβ ∧ vα}16β<α6m 为 Λ 2 (R m) 的一个基, 有 Pij = Pji, i, j = 1, · · · , r; Pji = 0, i = 1, · · · , r, j = r + 1, · · · , m. 故有 ui = ∑r j=1 Pjivj , i = 1, · · · , r. 引理 2.4 (两向量组之间的关系). 设有 ∀ {ui , vi} r i=1, {ξi , ηi} r i=1 ⊂ R m 为两个向量组, 如有 1. {ui , vi} r i=1 ⊂ R m 线性无关; 2. ∑r i=1 ui ∧ vi = ∑r i=1 ξi ∧ ηi ∈ Λ 2 (R m), 则有 {ξi , ηi} r i=1 ⊂ R m 线性无关, 且 {ξi , ηi} r i=1 可由 {ui , vi} r i=1 线性表示. 证明 计算 (∑r i=1 ui ∧ vi )r , (u1 ∧ v1 + · · · + ur ∧ vr) ∧ · · · ∧ (u1 ∧ v1 + · · · + ur ∧ vr) = ∑ σ∈Pr ( uσ(1) ∧ vσ(1)) ∧ · · · ∧ ( uσ(m) ∧ vσ(m) ) = (∑ σ∈Pr sgn 2σ ) [(u1 ∧ v1) ∧ · · · ∧ (ur ∧ vr)] = r!u1 ∧ v1 ∧ · · · ∧ ur ∧ vr, 故有 u1 ∧ v1 ∧ · · · ∧ ur ∧ vr = ξ1 ∧ η1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ ηr . 由 {ui , vi} r i=1 ⊂ R m 线性无关, 故上式为非零 2r-形式. 按向量组线性无关的外积表示, 可有 {ξi , ηi} r i=1 ⊂ R m 线性无关. 9