张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 另考虑到 u1AU1A…Au∧UAE1=51Am1A… AEr An∧E1=0∈A2+1(R 其中i=1,…,r.结合向量组线性相关性的外积表示,以及{u,t;}=1的线性无关性,有 ;∈Rm(i=1,…,r)可由{u1,v}=1线性表示 引理25(外形式的低一阶表示)设{E}=1为线性无关向量组,则对V重∈AP(Rm)有表 51∧v1+…+∧vr,v1,…,vr∈A-1(Rm) 的充分必要条件为 ∈1∧…∧E,∧更=0∈A+P(Rm 证明按线性代数中的结论,可将线性无关组{E;}=1CR"扩充为Rm中的一组基{a}a=1 由此可有1A…A51}1<≤m为AP(Rm)的一组基,即有 E1∧…∧ l≤i1<…<ip≤m PE2A…∧ ≤2<…<ip≤m sr∧ ∧……∧ r+1≤i2<…<ip≤ 中1"PE1∧…∧ =:51Av1+…+5,∧vn+∑ r+1≤1<…<lp≤m 当r+p>m时,上式最后一项自动消失.在此情形下即有 φ=51∧1+…+￡r∧vr,5 ∧Er∧=0. 亦即结论自然成立 当r+p≤m时,设有51A……∧51∧重=0∈A+P(Rm),则 1∧…∧Er∧中 sr∧E ∈=0∈A+P(Rm) r+1≤n1<…<i 由于(1A…∧En+n}≤n<…<+p≤m为A+p(Rmn)的基,故按上式有 0, 1≤i1<…<ip≤ 即有更=1∧p1+…+Er∧v 反之,设有更=1∧v1+…+∧v,其中v1,…,v,∈A1(Em),考虑到1A…∧ 5n+}1≤n<<i+≤m为A+P(Rm)的基,则有 0, ≤i1 p≤ 故有 1∧…∧r∧更=0∈A+P(Rm)张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 另考虑到 u1 ∧ v1 ∧ · · · ∧ ur ∧ vr ∧ ξi = ξ1 ∧ η1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ ηr ∧ ξi = 0 ∈ Λ 2r+1(R m), 其中 i = 1, · · · , r. 结合向量组线性相关性的外积表示, 以及 {ui , vi} r i=1 的线性无关性, 有 ξi ∈ R m(i = 1, · · · , r) 可由 {ui , vi} r i=1 线性表示. 引理 2.5 (外形式的低一阶表示). 设 {ξi} r i=1 为线性无关向量组, 则对 ∀ Φ ∈ Λ p (R m) 有表 示 Φ = ξ1 ∧ ψ1 + · · · + ξr ∧ ψr , ψ1 , · · · , ψr ∈ Λ p−1 (R m) 的充分必要条件为 ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ Φ = 0 ∈ Λ r+p (R m). 证明 按线性代数中的结论, 可将线性无关组 {ξi} r i=1 ⊂ R m 扩充为 R m 中的一组基 {ξα} m α=1. 由此可有 {ξi1 ∧ · · · ∧ ξip }16i1<···<ip6m 为 Λ p (R m) 的一组基, 即有 Φ = ∑ 16i1<···<ip6m Φ i1···ip ξi1 ∧ · · · ∧ ξip = ξ1 ∧   ∑ 26i2<···<ip6m Φ 1i2···ip ξi2 ∧ · · · ∧ ξip   + · · · + ξr ∧   ∑ r+16i2<···<ip6m Φ ri2···ip ξi2 ∧ · · · ∧ ξip   + ∑ r+16i1<···<ip6m Φ i1···ip ξi1 ∧ · · · ∧ ξip =: ξ1 ∧ ψ1 + · · · + ξr ∧ ψr + ∑ r+16i1<···<ip6m Φ i1···ip ξi1 ∧ · · · ∧ ξip . 当 r + p > m 时, 上式最后一项自动消失. 在此情形下即有 Φ = ξ1 ∧ ψ1 + · · · + ξr ∧ ψr , ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ Φ = 0. 亦即结论自然成立. 当 r + p 6 m 时, 设有 ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ Φ = 0 ∈ Λ r+p (R m), 则 ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ Φ = ∑ r+16i1<···<ip6m Φ i1···ip ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ ξi1 ∧ · · · ∧ ξip = 0 ∈ Λ r+p (R m). 由于 {ξj1 ∧ · · · ∧ ξjr+p }16j1<···<jr+p6m 为 Λ r+p (R m) 的基, 故按上式有 Φ i1···ip = 0, r + 1 6 i1 < · · · < ip 6 m, 即有 Φ = ξ1 ∧ ψ1 + · · · + ξr ∧ ψr . 反之, 设有 Φ = ξ1 ∧ ψ˜ 1 + · · · + ξr ∧ ψ˜ r , 其中 ψ˜ 1 , · · · , ψ˜ r ∈ Λ p−1 (R m), 考虑到 {ξj1 ∧ · · · ∧ ξjr+p }16j1<···<jr+p6m 为 Λ r+p (R m) 的基, 则有 Φ i1···ip = 0, r + 1 6 i1 < · · · < ip 6 m, 故有 ξ1 ∧ · · · ∧ ξr ∧ Φ = 0 ∈ Λ r+p (R m). 10