张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 22广义 Kronecker符号 定义21(广义 Kronecker符号).Rm空间中的广义 Kronecker符号定义为 6 此处i1,…,i=1,…,m;j1,…,j=1,…,m. 按定理14(第5页),有 032-n=g2A…^g"(gn;…,9n)=91A…^9;1(92,…,9") 性质26(广义 Kronecker号基本性质).广义 Kronecker符号具有如下基本性质: 2.2=n=m=m 证明可直接通过行列式计算,证明广义 Kronecker符号的基本性质 1.根据定义,如果ji,…,j互不相同,则有 rs△ :8 …的 61…6 … 6s≠ 068 b1… ∑-,=(m-r)" 如果 中至少两个相同,则有6x=-=0.综上有 2.根据上一条性质,有 61-r8:=[m-(r+t-1)b-r =团m-(+t-1)m-(+t-2)6下8 =m-(r+t-1)…(m-n)1-y n-1张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 2.2 广义 Kronecker 符号 定义 2.1 (广义 Kronecker 符号). R m 空间中的广义 Kronecker 符号定义为 δ i1···ir j1···jr ,         δ i1 j1 · · · δ i1 jr . . . . . . δ ir j1 · · · δ ir jr         , 此处 i1, · · · , ir = 1, · · · , m; j1, · · · , jr = 1, · · · , m. 按定理1.4(第5页), 有 δ i1···ir j1···jr = g i1 ∧ · · · ∧ g ir (gj1 , · · · , gjr ) = gj1 ∧ · · · ∧ gjr (g i1 , · · · , g ir ). 性质 2.6 (广义 Kronecker 符号基本性质). 广义 Kronecker 符号具有如下基本性质: 1. δ i1···irs j1···jrs = (m − r)δ i1···ir j1···jr ; 2. δ i1···irst···s1 j1···jrst···s1 = (m − r)! (m − r − t)!δ i1···ir j1···jr . 证明 可直接通过行列式计算, 证明广义 Kronecker 符号的基本性质. 1. 根据定义, 如果 j1, · · · , jr 互不相同, 则有 δ i1···irs j1···jrs , ∑m s=1            δ i1 j1 · · · δ i1 jr δ i1 s . . . . . . . . . δ ir j1 · · · δ ir jr δ ir s δ s j1 · · · δ s jr δ s s            = ∑ s̸={j1,··· ,jr}            δ i1 j1 · · · δ i1 jr δ i1 s . . . . . . . . . δ ir j1 · · · δ ir jr δ ir s δ s j1 · · · δ s jr δ s s            = ∑ s̸={j1,··· ,jr}            δ i1 j1 · · · δ i1 jr δ i1 s . . . . . . . . . δ ir j1 · · · δ ir jr δ ir s 0 · · · 0 δ s s            = ∑ s̸={j1,··· ,jr}         δ i1 j1 · · · δ i1 jr . . . . . . δ ir j1 · · · δ ir jr         = ∑ s̸={j1,··· ,jr} δ i1···ir j1···jr = (m − r)δ i1···ir j1···jr . 如果 j1, · · · , jr 中至少两个相同, 则有 δ i1···irs j1···jrs = δ i1···ir j1···jr = 0. 综上有 δ i1···irs j1···jrs = (m − r)δ i1···ir j1···jr . 2. 根据上一条性质, 有 δ i1···irst···s1 j1···jrst···s1 = [m − (r + t − 1)]δ i1···irst···s2 j1···jrst···s2 = [m − (r + t − 1)] [m − (r + t − 2)] δ i1···irst···s3 j1···jrst···s3 = · · · = [m − (r + t − 1)] · · ·(m − r)δ i1···ir j1···jr = (m − r)! (m − r − t)! δ i1···ir j1···jr . 11