张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 设矩阵A= ∈Rxr,则基于广义 Kronecker符号,可得行列式的另 A i 表达式 sgnasgn B Aa(i1).Bc1)'. Aa(ir), B() ∑gm(②m…m)( A BGr)/P1q1 a,B∈P r Apq1…:Ap,q 021-yA 为讨论方便考虑A=(4)∈Rx,此处=1,…,则有 考虑 t Apy A 01P61…9(mn Ap-a+…+A 4p-19-1,tj) (6P坐A…A 6 r1-(-1An1q1…Ap 2P612…9 dia 式中adA表示矩阵A的伴随矩阵,即 △m张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 设矩阵 A =   Ai1j1 · · · Ai1jr . . . . . . Airj1 · · · Airjr   ∈ R r×r , 则基于广义 Kronecker 符号, 可得行列式的另一 表达式 det A = 1 r! ∑ α,β∈Pr sgn αsgn βAα(i1),β(j1) · · · Aα(ir),β(jr) = 1 r! ∑ α,β∈Pr sgn αsgn β ( δ p1 α(i1) · · · δ pr α(ir) ) (δ q1 β(j1) · · · δ qr β(jr) ) Ap1q1 · · · Aprqr = 1 r!         δ p1 i1 · · · δ p1 ir . . . . . . δ pr i1 · · · δ pr ir                 δ q1 j1 · · · δ q1 jr . . . . . . δ qr j1 · · · δ qr jr         Ap1q1 · · · Aprqr = 1 r! δ p1···pr i1 ···ir δ q1···qr j1 ··· jr Ap1q1 · · · Aprqr . 为讨论方便, 考虑 A = ( Aij) ∈ R r×r , 此处 i, j = 1, · · · , r, 则有 det A = 1 r! δ p1 1 ··· ··· pr r δ q1 1 ··· ··· qr r Ap1q1 · · · Aprqr . 考虑 ∂ det A ∂Aij = 1 r! δ p1 1 ··· ··· pr r δ q1 1 ··· ··· qr r ( ∂Ap1q1 ∂Aij Ap2q2 · · · Aprqr + · · · + Ap1q1 · · · Apr−1qr−1 ∂Aprqr ∂Aij ) = 1 r! δ p1 1 ··· ··· pr r δ q1 1 ··· ··· qr r ( δp1iδq1jAp2q2 · · · Aprqr + · · · + Ap1q1 · · · Apr−1qr−1 δpriδqrj ) = 1 r! ( δ i 1 p2 2 ··· ··· pr r δ j 1 q2 2 ··· ··· qr r Ap2q2 · · · Aprqr + · · · + δ p1 1 ··· ··· pr−1 (r−1) i r δ q1 1 ··· ··· qr−1 (r−1) j rAp1q1 · · · Apr−1qr−1 ) = 1 (r − 1)! δ i 1 p2 2 ··· ··· pr r δ j 1 q2 2 ··· ··· qr r Ap2q2 · · · Aprqr =: (adjA)ji, 式中 adjA 表示矩阵 A 的伴随矩阵, 即 adjA =   ∆11 · · · ∆1m . . . . . . ∆m1 · · · ∆mm   T =   ∆11 · · · ∆m1 . . . . . . ∆1m · · · ∆mm   , 12