张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 此处Δ表示矩阵A元素A;的代数余子式.计算 djA)ji-( 612.612A1kA P292 Apear (r-1)! sgnA(A(…)6x 612 k Alk Al A1 Al a k A 式中{g,…,n}只能为{o(1),…,j,…,o(r)},如∈P-1,结合行列式的基本性质,可见当 j≠k时,有(adjA) ii Aik=0.当j=k时,有 adjA)jiAij(r-1) 612-3-(对j不求和 A A1() (1)…y…(r) det A P A A 此处σ= ( 1)/∈P-1.综上,有 (adjA)ii A 或者当detA≠0时,有 A=Ir. 即有 1 adjA det a 23 Eddington张量 Eddington张量的定义可基于外积运算,其几何意义可理解为 Euclid空间中的体积单元张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 此处 ∆ij 表示矩阵 A 元素 Aij 的代数余子式. 计算 (adjA)jiAik = 1 (r − 1)! δ ip2···pr 12 ··· r δ jq2···qr 12 ··· r AikAp2q2 · · · Aprqr = 1 (r − 1)! (∑ σ∈Pr sgn σδi σ(1)δ p2 σ(2) · · · δ pr σ(r) ) AikAp2q2 · · · Aprqr δ jq2···qr 12 ··· r = 1 (r − 1)! (∑ σ∈Pr sgn σAσ(1)kAσ(2)q2 · · · Aσ(r)qr ) δ jq2···qr 12 ··· r = 1 (r − 1)!         A1k A1q2 · · · A1qr . . . . . . . . . Ark Arq2 · · · Arqr         δ jq2···qr 12 ··· r = (−1)j (r − 1)!         A1k A1q2 · · · A1qr . . . . . . . . . Ark Arq2 · · · Arqr         δ q2···j···qr 1 ···j··· r 式中 {q2, · · · , qr} 只能为 {σ(1), · · · , ◦ j, · · · , σ(r)}, ∀σ ∈ Pr−1, 结合行列式的基本性质, 可见当 j ̸= k 时, 有 (adjA)jiAik = 0. 当 j = k 时, 有 (adjA)jiAij = 1 (r − 1)!         A1q2 · · · A1j · · · A1qr . . . . . . . . . Arq2 · · · Arj · · · Arqr         δ q2···j···qr 1 ···j··· r (对 j 不求和) = 1 (r − 1)! ∑ σ∈Pr−1         A1σ(1) · · · A1j · · · A1σ(r) . . . . . . . . . Arσ(1) · · · Arj · · · Arσ(r)         δ σ(1)···j···σ(r) 1 ···j··· r = 1 (r − 1)!   ∑ σ∈Pr−1 sgn 2σ           A11 · · · A1r . . . . . . Ar1 · · · Arr         = det A, 此处 σ =   1 · · · ◦ j · · · r σ(1) · · · σ( ◦ j) · · · σ(r)   ∈ Pr−1. 综上, 有 (adjA)jiAik = δjk det A 或者当 det A ̸= 0 时, 有 adjA det A A = Ir, 即有 A−1 = adjA det A . 2.3 Eddington 张量 Eddington 张量的定义可基于外积运算, 其几何意义可理解为 Euclid 空间中的体积单元. 13