张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 定义2.2( Eddington张量).设{ea}P=1为Rm空间中的一组单位正交基,定义 R), 称为 Eddington张量 考虑v{e(}m=1为Rm的另一组单位正交基,设有 e(1) 其中P为正交矩阵,而且设detP=1.由此即有ea)=Pses计算 e(1)A…∧e(m)=(Ps1es1)A…∧( Psmes)=P31,1…Psm,mes∧……∧esm 根据简单外形式的性质,s1,…,sm中只要有任意两数相等,结果即为零.因此可有 e1∧……∧ sonoRa(1),1 det(P)e1A…∧em=e1∧…∧em, 故 Eddington张量的定义不依赖于单位正交基的选取 对于一般基{g1}=1,设有 9 P 即有g=P3is.所以 91A…∧gm=(Ps1,1ts1)∧……A( Psmmis)=det(B)i∧…∧im =det(g1…gm)i1∧…∧im, 故有 gn 此处√=dt(1…gn)>0称为体积单元同理可有=√myA…Ag 性质27 14张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 定义 2.2 (Eddington 张量). 设 {ei} m i=1 为 R m 空间中的一组单位正交基, 定义 ε = e1 ∧ · · · ∧ em ∈ Λ m(R m), 称为 Eddington 张量. 考虑 ∀ {e(i)} m i=1 为 R m 的另一组单位正交基, 设有 ( e(1) · · · e(m) ) = ( e1 · · · em ) P , 其中 P 为正交矩阵, 而且设 det P = 1. 由此即有 e(i) = Psies. 计算 e(1) ∧ · · · ∧ e(m) = (Ps1,1es1 ) ∧ · · · ∧ (Psm,mesm) = Ps1,1 · · · Psm,mes1 ∧ · · · ∧ esm. 根据简单外形式的性质, s1, · · · , sm 中只要有任意两数相等, 结果即为零. 因此可有 e(1) ∧ · · · ∧ e(m) = ∑ σ∈Pm Pσ(1),1 · · · Pσ(m),meσ(1) ∧ · · · ∧ eσ(m) = ∑ σ∈Pm sgn σPσ(1),1 · · · Pσ(m),me1 ∧ · · · ∧ em = det(Pij ) e1 ∧ · · · ∧ em = e1 ∧ · · · ∧ em, 故 Eddington 张量的定义不依赖于单位正交基的选取. 对于一般基 {gi} m i=1, 设有 ( g1 · · · gm ) = ( i1 · · · im ) P , 即有 gi = Psiis. 所以 g1 ∧ · · · ∧ gm = (Ps1,1is1 ) ∧ · · · ∧ (Psm,mism) = det(Pij ) i1 ∧ · · · ∧ im = det ( g1 · · · gm ) i1 ∧ · · · ∧ im, 故有 ε = 1 √g g1 ∧ · · · ∧ gm. 此处 √g = det ( g1 · · · gm ) > 0 称为体积单元. 同理可有 ε = √gg 1 ∧ · · · ∧ g m. 性质 2.7. ε i1···imεj1···jm =         δ i1 j1 · · · δ i1 jm . . . . . . δ im j1 · · · δ im jm         14