张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明根据张量分量和 eddington张量的定义,可有 e(9 g)=y9g1A…9m(92, 1 e(9 gji )=93A…g"(gn,…,9m) 9 所以 61 上式最后一步利用了行列式的性质?2第??页),即关系式det(AB)= det a det B 2.4 Hodge星算子 Hodge星算子的定义基于外积运算 定义2.3( Hodge星算子). Hodge星算子用映照形式可以表示为 *:A(Rm)3更口*∈A(R"),8=m一7 满足 e④重∧)=(*)重全(*)⊙重,Ⅴ重∈A(m) 此处ε∈m(Rm)为m阶 eddington张量,运算◇称为外全点积 性质28( Hodge星算子基本性质). Hodge星算子具有如下基本性质: 1.对更∈A(Rm),有 (-1) 2.对更∈A(Rm),有 (-1)。匝 证明可直接通过张量整体形式的计算,证明 Hodge星算子的基本性质张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明 根据张量分量和 Eddington 张量的定义, 可有 ε i1···im = ε(g i1 , · · · , g im) = √ gg1 ∧ · · · gm(g i1 , · · · , g im) = √ g         δ i1 1 · · · δ im 1 . . . . . . δ i1m · · · δ im m         , εj1···jm = ε(gj1 , · · · , gjm ) = 1 √g g 1 ∧ · · · g m(gj1 , · · · , gjm ) = 1 √g         δ 1 j1 · · · δ 1 jm . . . . . . δ m j1 · · · δ m jm         , 所以 ε i1···imεj1···jm =         δ i1 1 · · · δ im 1 . . . . . . δ i1m · · · δ im m                 δ 1 j1 · · · δ 1 jm . . . . . . δ m j1 · · · δ m jm         =         δ i1 j1 · · · δ i1 jm . . . . . . δ im j1 · · · δ im jm         . 上式最后一步利用了行列式的性质??(第??页), 即关系式 det(AB) = det A det B. 2.4 Hodge 星算子 Hodge 星算子的定义基于外积运算. 定义 2.3 (Hodge 星算子). Hodge 星算子用映照形式可以表示为 ∗ : Λ r (R m) ∋ Φ 7→ ∗Φ ∈ Λ s (R m), s = m − r, 满足 ε ♢ (Φ ∧ Ψ) = (∗Φ) ♢ Ψ , 1 s! (∗Φ) ⊙ Ψ, ∀ Ψ ∈ Λ s (R m). 此处 ε ∈ Λ m(R m) 为 m 阶 Eddington 张量, 运算 ♢ 称为外全点积. 性质 2.8 (Hodge 星算子基本性质). Hodge 星算子具有如下基本性质: 1. 对 ∀ Φ ∈ Λ r (R m), 有 ∗Φ = (−1)rs r! ε (r · ) Φ, s = m − r; 2. 对 ∀ Φ ∈ Λ r (R m), 有 ∗(∗Φ) = (−1)rsΦ, s = m − r. 证明 可直接通过张量整体形式的计算, 证明 Hodge 星算子的基本性质. 15