第20题)设En}R,并且E∩E=(i≠)令E=UE,由于R是代数 故UE,∈R,n21.利用引理223,对任意ACX,我们有 A)=HAQUE, ∩(UE) ≥川AUE|+(A∩E) ∑山(A∩E)+'(A∩E) (6)式对任意n都成立.在(6)中令n→>∞,并利用外测度的次可数可加性,得到 4)≥∑(AnE)+(A∩E)≥'(A∩E)+'(A∩E°) 上式表明E满足卡氏条件(4)式因此E=∪En∈R这就证明了”是a代数 (i).为证是”上的测度,只需证明在”上是可数可加的.设{En}c界 并且E,∩E,=(≠八)由外测度的次可数可加性,我们有(UE)≤∑(E) 另一方面,在(5)中令A=X得到 ∑'(E)=A'(UE)≤(UE) 上式中令n→>∞,得到 ∑'(E,)≤'(UE 因此 UE,)=∑(E) 即'在”上是可数可加的所以是”上的测度■ 注1从定理4的证明可以看出,定理4的结论(i)和(i)并不依赖于环咒上的测度 ,只用到了定理1中'所满足的性质因此,我们可以定义任何满足定理1中的 (i),(i)和(i)的集函数为外测度然后和定义2一样定义山可测集则定理4的结 论对这样定义的一般的外测度仍成立 测度的延拓由定理4知道”是一个a-代数,限制在”上是一个测度,一个51 第 20 题). 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 令 . 1 U ∞ = = n E En 由于 ∗ R 是代数, 故 ∈ = U n i Ei 1 ∗ R , n ≥ 1. 利用引理 2.2.3, 对任意 A ⊂ X , 我们有 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 c n i i c n i i c n i i n i i A E A E A E A E A A E A E = ∩ + ∩   + ∩       ≥ ∩           + ∩       = ∩ ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ∗ = ∗ ∗ ∑µ µ µ µ µ µ µ U U U (6) (6)式对任意 n 都成立. 在(6)中令n → ∞, 并利用外测度的次可数可加性, 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 c c i A ≥ A∩ Ei + A∩ E ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ ∞ = ∗ ∗ µ ∑µ µ µ µ 上式表明 E 满足卡氏条件(4)式 因此 = ∈ ∞ = U n 1 E En ∗ R . 这就证明了 ∗ R 是σ -代数. (ii).为证 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度, 只需证明 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 由外测度的次可数可加性, 我们有 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ i i i µ UEi µ E 另一方面, 在(5)中令 A=X 得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 U U ∞ = ∗ = ∗ = ∗ ∑ = ≤ i i n i i n i µ Ei µ E µ E 上式中令 n → ∞, 得到 ( ) ( ). 1 1 U ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∑ ≤ i i i µ Ei µ E 因此 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ = 1 1 ( ) ( ) i i i µ UEi µ E , 即 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 所以 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度. 注 1 从定理.4 的证明可以看出, 定理 4 的结论(i) 和(ii) 并不依赖于环R 上的测度 µ , 只用到了定理 1 中 ∗ µ 所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理 1 中的 (i),(ii) 和(iii) 的集函数 ∗ µ 为外测度. 然后和定义 2 一样定义 ∗ µ 可测集. 则定理 4 的结 论对这样定义的一般的外测度 ∗ µ 仍成立. 测度的延拓 由定理 4 知道 ∗ R 是一个σ -代数, ∗ µ 限制在 ∗ R 上是一个测度. 一个