(A∩E1) (2 ∑山(A∩E) 因此当n=k+1时(5)式成立.因此(5)对任意n成立■ 定理4设H是环上的测度,是由p导出的外测度,是可测集的全体 所成的集类.则有 (i).”是σ-代数 (i).限制在是”上是一个测度 证明(i)先证明”是一个代数.由于空集和全空间X是'-可测集故非 空.由可测集的定义立即可以看出若E是4-可测的,则E也是可测的,因 此对余运算封闭.往证对有限并的封闭性.设E1,E2∈.令E=E1∪E2,注 意到E=E1∪(E∩E2),利用E1和E2的可测性,对任意AcX,我们有 (A∩E)+'(A∩E) ≤['(AnE1)+(A∩E∩E2)+'(A∩E∩E2) =(A∩E1)+[(A∩E1nE2)+'(∩E)∩E2 =(A∩E1)+4(AE)='(A A∩EC=A∩E1∩E2 AAE1X∩E∩ 图2 (参见图2-2)即E满足卡氏条件(4)式.这表明E=E1∪E2∈”.因此是一个代数 为证是一个-代数,只需再证明R对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题50 ( ). ( ) . 1 1 1 1 ∑ + = ∗ = ∗ + ∗ = ∩                 = ∩ + ∩ k i i k i k i A E A E A E µ µ µ U 因此当 n = k +1时(5)式成立. 因此(5)对任意n 成立. 定理 4 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -可测集的全体 所成的集类. 则有 (i). ∗ R 是σ -代数. (ii). ∗ µ 限制在是 ∗ R 上是一个测度. 证明 (i).先证明 ∗ R 是一个代数. 由于空集∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 故 ∗ R 非 空. 由 ∗ µ -可测集的定义立即可以看出若 E 是 µ∗ −可测的, 则 c E 也是 ∗ µ -可测的, 因 此 ∗ R 对余运算封闭. 往证 ∗ R 对有限并的封闭性. 设 E1 , E2 ∈ ∗ R . 令 E = E1 ∪ E2 .注 意到 ( ) E E1 E1 E2 c = ∪ ∩ , 利用 E1 和E2 的可测性, 对任意 A ⊂ X , 我们有 A E A E A A E A E E A E E A E A E E A E E A E A E c c c c c c c c ( ) ( ) ( ( ) [ (( ) ) (( ) )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∩ + ∩ = = ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ ≤ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ ∩ + ∩ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 图 2 2 (参见图 2 2)即 E 满足卡氏条件(4)式. 这表明 E = E1 ∪ E2 ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 是一个代数. 为证 ∗ R 是一个σ -代数, 只需再证明 ∗ R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题 A E1 E2 C c c A∩ E = A∩ E1 ∩ E2 A ∩ E1 A E1 E2 C ∩ ∩