=P‖M-APHP‖P‖4-4 =PP‖a-AHa-A 可见,A和A具有相同的特征多项式,因此具有相同的特征值。因此,经非奇异线性变换 后,虽然状态变量变了,状态方程的参数也变了,但状态方程的特征值不变,所以,一般 称特征值是系统的不变量 例24已知系统的状态方程为 取线性变换为 求变换后的系统的状态方程。 32.50.5 解: 11.50.5 由式(219)得 3250.50101111 A=P-AP=-3-4-100 -1-2-3 11.50.5-6-11-6149 3-4-1‖149 0-20 11.505-1-8-2700-3 3250.5T01「0.5 B=PB=-3-4-10 11.50.51|0.5 所以,变换后的状态方程为 在例2.4中,通过线性变换后的状态方程的系数矩阵A为对角矩阵,使状态变量之间没 有耦合作用。这种形式对控制系统分析和设计都是非常有益的。在第六章中将讨论如何求 取使矩阵A变换为对角阵的线性变换矩阵P。事实上,这些内容在《线性代数》中已经作 了介绍| || | | | | || || | | || || | 1 1 1 P P I A I A P I A P P P I A = − = − = − = − − − − λ λ λ λ 可见， A 和 A 具有相同的特征多项式，因此具有相同的特征值。因此，经非奇异线性变换 后，虽然状态变量变了，状态方程的参数也变了，但状态方程的特征值不变，所以，一般 称特征值是系统的不变量。 例 2.4 已知系统的状态方程为 u x x x x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 6 11 6 0 0 1 0 1 0 3 2 1 3 2 1 & & & 取线性变换为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 1 4 9 1 2 3 1 1 1 x x x x x x 求变换后的系统的状态方程。 解： P= P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 4 9 1 2 3 1 1 1 −1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 由式(2.19)得 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − − − − 1 4 9 1 2 3 1 1 1 6 11 6 0 0 1 0 1 0 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 1 A P AP = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 0 0 3 0 2 0 1 0 0 1 8 27 1 4 9 1 2 3 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − − − − 0.5 1 0.5 1 0 0 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 1 B P B 所以，变换后的状态方程为 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0.5 1 0.5 0 0 3 0 2 0 1 0 0 & 在例 2.4 中，通过线性变换后的状态方程的系数矩阵 为对角矩阵，使状态变量之间没 有耦合作用。这种形式对控制系统分析和设计都是非常有益的。在第六章中将讨论如何求 取使矩阵 变换为对角阵的线性变换矩阵 A A P 。事实上，这些内容在《线性代数》中已经作 了介绍