·1088· 工程科学学报，第39卷，第7期 设计参数型频响函数修正法和工程应用中的优势及局 A.(o）-A(o） 限.Esfandiari等采用基于频响函数的模型修正方 R,= (4) A(@:) 法，实现了对一标准桁架结构的损伤识别.文献了9] 式中，n,表示所选观测点数量，n表示在频响曲线上选 均采用加速度频响函数的模型修正方法，分别对某双 取的频率点个数，A.是试验模型在第i频率点的加速 星系统、桁架和简支梁的有限元模型进行模型修正 度幅值，A是有限元模型在第i频率点的加速度幅值， 工程结构有限元模型的动力学分析往往比较耗 w为第i个频率值. 时，这给基于优化的动力学模型修正的效率带来不小 2 Kriging法构造近似模型 困难，因此，能够实现快速迭代的近似模型方法越来越 受到关注，该方法通过建立结构输入（设计参数）与输 Kriging法构造的模型通过插值技术实现，属于线 出（结构响应）间的近似关系模型，用以取代有限元模 性回归分析的一种改进技术，被视为线性无偏估计 型参与优化过程，且利于采用不同的优化算法来研究 模型包含了线性回归部分和非参数部分： 问题，从而提高优化效率，这使该方法越来越具工程应 y(x)=F(B,x)+z(x)=f(x)B+z(x).(5) 用意义.刘洋等@分别介绍了两种常用的近似模型， 式中，B是回归系数，f(x)是样本点x的多项式函数， 并进行了基于模态参数的模型修正，指出了近似模型 z(x)为随机分布. 在结构有限元模型修正应用中的关键问题.文献1一 在设计空间中，f(x)作为模型构造中的全局近 12]均采用响应面法分别对基准模型模态和悬臂梁结 似，其形式类似于响应面法中的多项式.z(x)作为模 构多目标进行了模型修正，使修正后的各阶频率与试 型构造中局部偏差的近似，服从正态分布N(0,σ)， 验频率误差明显减小，文献3-l4]基于Kriging模型 其协方差不为零.随机分布z(x)的存在是Kriging模 分别对多体动力学模型和拱桥模型进行了修正· 型与传统响应面的主要不同点，z(x)的协方差矩 阵为： 加速度频响函数修正方法 Cov (x),z(x)]=2R. (6) 加速度频响函数是频响函数的一种，假设n自由 式中，σ，为z(x)的方差：x和x是所有训练样本点中的 度阻尼系统中，基本动力学方程为： 任意两个；R是由R,(x,x)组成的对称矩阵 Mi+Ci+Kx=F (1) R,是相关函数，该函数能够表征样本点之间的空 式中，M为系统质量阵，C为系统阻尼阵，K为系统刚 间相关性，直接影响模型的近似精度.R,的形式如下： 度阵，x为位移向量，F为系统激励 ,,)=ΠR(a,d),d,=ld-1.() 在简谐激励下，经傅里叶变换可得频域内输入和 输出的关系为： 式中，N,是设计变量的数量，0，为相关系数，x和x分 A(0)=H(@)F(o) (2) 别是x:和x样本点第k个分量. 式中，A(o)为稳态响应，H(o)为加速度频响函数， 本文的R,选取应用较广的高斯相关函数回，其核 F(a)为简谐激励. 函数的形式为： 可得有限元模型的加速度频响函数矩阵为： R(0,d)=exp(-0d) (8) H()=[M-ic 因σ和R都是，的函数，且o和R可通过响应的 w2」· (3) 最大化似然估计来确定，如式(9)所示，求解σ，和R 式中，ω为激励频率. 即为确定0值 在建立的有限元模型中，所用结构参数与试验模 N.In (o2)+In IRI 型结构参数间通常会存在误差，这直接或间接体现在 用 (9) 2 质量误差、阻尼误差和刚度误差中，从而使有限元模型 式中，N表示训练样本点个数 的频响函数不同于试验模型的响应.频响函数模型修 由于式(5)中的随机分布z(x)已经有足够的能力 正过程，即为利用试验测得的频响数据，通过调整有限 描述函数响应的变化趋势，其回归部分(x)可以视 元模型的部分结构参数（待修正参数）来减小与试验 为常数项，则0为Kriging模型的唯一未知数. 模型间响应误差 当Kriging模型y(x)构造完成，在待测点x。的响 模型修正过程中，除了确定有限元模型的待修正 应值(x。)为： 参数作为优化过程的设计变量外，还需构造优化过程 y(xo)=B'+r(xo)R-(Y-fB"). (10) 的目标函数.本文利用频响函数曲线在同一频率点处 其中： 加速度幅值的差值，构造出了单自由度下的目标函数 B=(fR-f)fR-Y. (11) 形式为： 式中，Y为训练样本点响应组成的列向量：r(xo)为训工程科学学报，第 39 卷，第 7 期 设计参数型频响函数修正法和工程应用中的优势及局 限． Esfandiari 等［6］采用基于频响函数的模型修正方 法，实现了对一标准桁架结构的损伤识别． 文献［7--9］ 均采用加速度频响函数的模型修正方法，分别对某双 星系统、桁架和简支梁的有限元模型进行模型修正． 工程结构有限元模型的动力学分析往往比较耗 时，这给基于优化的动力学模型修正的效率带来不小 困难，因此，能够实现快速迭代的近似模型方法越来越 受到关注，该方法通过建立结构输入( 设计参数) 与输 出( 结构响应) 间的近似关系模型，用以取代有限元模 型参与优化过程，且利于采用不同的优化算法来研究 问题，从而提高优化效率，这使该方法越来越具工程应 用意义． 刘洋等［10］分别介绍了两种常用的近似模型， 并进行了基于模态参数的模型修正，指出了近似模型 在结构有限元模型修正应用中的关键问题． 文献［11-- 12］均采用响应面法分别对基准模型模态和悬臂梁结 构多目标进行了模型修正，使修正后的各阶频率与试 验频率误差明显减小，文献［13--14］基于 Kriging 模型 分别对多体动力学模型和拱桥模型进行了修正． 1 加速度频响函数修正方法 加速度频响函数是频响函数的一种，假设 n 自由 度阻尼系统中，基本动力学方程为: M x·· + C x· + Kx = F． ( 1) 式中，M 为系统质量阵，C 为系统阻尼阵，K 为系统刚 度阵，x 为位移向量，F 为系统激励． 在简谐激励下，经傅里叶变换可得频域内输入和 输出的关系为: A( ω) = H( ω) F( ω) ． ( 2) 式中，A( ω) 为稳态响应，H( ω) 为加速度频响函数， F( ω) 为简谐激励． 可得有限元模型的加速度频响函数矩阵为: H( ω) [ = M － jC ω － K ω2 ] － 1 ． ( 3) 式中，ω 为激励频率． 在建立的有限元模型中，所用结构参数与试验模 型结构参数间通常会存在误差，这直接或间接体现在 质量误差、阻尼误差和刚度误差中，从而使有限元模型 的频响函数不同于试验模型的响应． 频响函数模型修 正过程，即为利用试验测得的频响数据，通过调整有限 元模型的部分结构参数( 待修正参数) 来减小与试验 模型间响应误差． 模型修正过程中，除了确定有限元模型的待修正 参数作为优化过程的设计变量外，还需构造优化过程 的目标函数． 本文利用频响函数曲线在同一频率点处 加速度幅值的差值，构造出了单自由度下的目标函数 形式为: Ｒnp = ∑ np n = 1 ∑ nf i = 1 Ati ( ωi ) － Aai ( ωi ) Ati ( ωi ) ． ( 4) 式中，np表示所选观测点数量，nf表示在频响曲线上选 取的频率点个数，Ati是试验模型在第 i 频率点的加速 度幅值，Aai是有限元模型在第 i 频率点的加速度幅值， ωi为第 i 个频率值． 2 Kriging 法构造近似模型 Kriging 法构造的模型通过插值技术实现，属于线 性回归分析的一种改进技术，被视为线性无偏估计． 模型包含了线性回归部分和非参数部分: y( x) = F( β，x) + z( x) = f T ( x) β + z( x) ． ( 5) 式中，β 是回归系数，f( x) 是样本点 x 的多项式函数， z( x) 为随机分布． 在设计空间中，f( x) 作为模型构造中的全局近 似，其形式类似于响应面法中的多项式． z( x) 作为模 型构造中局部偏差的近似，服从正态分布 N( 0，σ2 z ) ， 其协方差不为零． 随机分布 z( x) 的存在是 Kriging 模 型与传 统 响 应 面 的 主 要 不 同 点，z ( x) 的 协 方 差 矩 阵为: Cov［z( xi ) ，z( xj ) ］= σ2 z Ｒ． ( 6) 式中，σz为 z( x) 的方差; xi和 xj是所有训练样本点中的 任意两个; Ｒ 是由 Ｒij( xi，xj ) 组成的对称矩阵． Ｒij是相关函数，该函数能够表征样本点之间的空 间相关性，直接影响模型的近似精度． Ｒij的形式如下: Ｒij( xi，xj ) = ∏ Nv k = 1 Ｒk ( θk，dk ) ，dk = | xk i － xk j | ． ( 7) 式中，Nv是设计变量的数量，θk为相关系数，xk i 和 xk j 分 别是 xi和 xj样本点第 k 个分量． 本文的 Ｒij选取应用较广的高斯相关函数［15］，其核 函数的形式为: Ｒk ( θk，dk ) = exp ( － θkd2 k ) ． ( 8) 因 σz和 Ｒ 都是 θk的函数，且 σz和 Ｒ 可通过响应的 最大化似然估计来确定［15］，如式( 9) 所示，求解 σz和 Ｒ 即为确定 θk值． max θk ＞ 0 ( － Nsln ( σ2 z ) + ln | Ｒ| ) 2 ． ( 9) 式中，Ns表示训练样本点个数． 由于式( 5) 中的随机分布 z( x) 已经有足够的能力 描述函数响应的变化趋势，其回归部分 f T ( x) 可以视 为常数项，则 θk为 Kriging 模型的唯一未知数． 当 Kriging 模型 y( x) 构造完成，在待测点 x0 的响 应值 y^( x0 ) 为: y^( x0 ) = β* + r T ( x0 ) Ｒ － 1 ( Y － fβ* ) ． ( 10) 其中: β* = ( f T Ｒ － 1 f) － 1 f T Ｒ － 1Y． ( 11) 式中，Y 为训练样本点响应组成的列向量; r( x0 ) 为训 · 8801 ·