§272 Fourier变换 第6页 ★再来解例272,无界弦上的自由振动问题, a-u au 0, ∞<x<∞,t>0; 仍设u(x,t)的 Fourier变换存在 并设 V2/v()e-ikzdz 于是,在作 Fourier变换后,定解问题就变为 d2U +k2a2U(k,t)=0 (,1)=0=到(k),U(k,)=0=(k) 这是一个二阶常微分方程的初值问题,解之即得 U(k, t)=p(k)cos kat +(k)sin kat 根据 Fourier变换的反演公式,就可以求出 sin kat u(a, t) √2π (k) cos kat+业(k 注意 6(k)cos kat ek ak =52/ %(k)eik(a+at)+eik(az-at) dk 2[o(x+a)+o(x-a) 类似地,还有 y(k) V2/v(k) cos kat dr e dk 、如 y(k)cos kaTe 1 v(r+ar)+v(a-ar) dr v(5) 代入上面的结果,最后就得到 1 r+at 这当然和用 Laplace变换得到的形式完全一样Wu Chong-shi §27.2 Fourier ➘➴ Ð 6 Ñ F ➻❈☞❋ 27.2 ✛❝❞óü ✕ ❂❱❲õ✓✔✛ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, − ∞ < x < ∞, t > 0; u   t=0 = φ(x), ∂u ∂t    t=0 = ψ(x), − ∞ < x < ∞. ❳ö u(x, t) ✕ Fourier ✤✥✭✩✛ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ✌ö Φ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ φ(x)e−ikxdx, Ψ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ ψ(x)e−ikxdx, ★❍✛✩➡ Fourier ✤✥❁✛✒☞✓✔■✤▲ d 2U(k, t) dt 2 + k 2 a 2U(k, t) = 0, U(k, t)   t=0 = Φ(k), U(k, t)   t=0 = Ψ(k). ❚❍✗❄❨❋✫✍✎✏✑✕➥●✓✔✛☞÷✜❱ U(k, t) = Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka . ÒÓ Fourier ✤✥✕❪❫ÔÕ✛■✽➲☛ò u(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞  Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka  e ikxdk. ✁✂ 1 √ 2π Z ∞ −∞ Φ(k) cos kat e ikxdk = 1 √ 2π 1 2 Z ∞ −∞ Φ(k) h e ik(x+at) + eik(x−at) i dk = 1 2 φ(x + at) + φ(x − at) , ✧▲✻✛❩✬ 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) sin kat ka e ikxdk = 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) Z t 0 cos kaτ dτ  e ikxdk = Z t 0  1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) cos kaτ e ikxdk  dτ = 1 2 Z t 0 h ψ(x + aτ) + ψ(x − aτ) i dτ = 1 2a Z x+at x−at ψ(ξ)dξ, ❩❬ü❭ ✕❪✛✛Ú❁■❱❛ u(x, t) = 1 2 h φ(x + at) + φ(x − at) i + 1 2a Z x+at x−at ψ(ξ)dξ. ❚❫❴✭✧ Laplace ✤✥❱❛✕èÕ■❏✗❯✪