第二十七讲积分变换 第7页 例273求解三维无界空间波动方程的定解问题 ot2-eVu=f(r, t),t>0, =v(T) 解首先作 Fourier变换.令 U(k, t)=02///u(r, D)exp(-ik r)dr, (k)-(2m) 3/ ()exp{-ik·r}dr, w(r)expl-ikr) 则定解问题化为常微分方程初值问题 d 2U d2+keU(k, t)=F(k, t). U=0=更(k =y(k) 再作 Laplace变换 U(k,t)=1(k,p),F(k,t)=6(k,p) 于是,定解问题进一步变成代数方程 p2(k,p)-p(k)-更(k)+k22(k,p)=3(k,p) 解之即得 (kD二严+k+(+(对小 求反演.先作 Laplace变换的反演,有 (k=如(k)如k+()k+kskF(k,t-)d 再作 Fourier变换的反演 r,t) U(k,t)exp{ik·r}dk ∥/w).-体k,+面cm体时 kc kcr F(k, t-r)dr explik.r)dk 利用 Fourier变换的折积公式,就可以求出上述各项的反演,从而就最终求出定解问题的解. 采用k空间的球坐标,可以算出 3/2 sin kct ikr cos e k2 sin 0 dk de do k sin kct dk:/ eikr cos e sin 0 de sin kctWu Chong-shi ✄☎✆✝✞ ✟ ✃➘➴ Ð 7 Ñ ❜ 27.3 ☛☞❵❛❝❞✔❀ôõ✏✑✕✒☞✓✔✛ ∂ 2u ∂t2 − c 2∇2u = f(r, t), t > 0, u   t=0 = φ(r), ∂u ∂t    t=0 = ψ(r). ✐ ❜❝➡ Fourier ✤✥✪➢ U(k, t) = 1 (2π) 3/2 ZZ Z u(r, t) exp{−ik · r} dr, Φ(k) = 1 (2π) 3/2 Z ZZ φ(r) exp{−ik · r} dr, F(k, t) = 1 (2π) 3/2 Z ZZ f(r, t) exp{−ik · r} dr, Ψ(k) = 1 (2π) 3/2 ZZ Z ψ(r) exp{−ik · r} dr, ✏✒☞✓✔ø▲✫✍✎✏✑➥●✓✔ d 2U dt 2 + k 2 c 2U(k, t) = F(k, t), U   t=0 = Φ(k), dU dt    t=0 = Ψ(k). ➻➡ Laplace ✤✥ U(k, t) ; U(k, p), F(k, t) ; F(k, p). ★❍✛✒☞✓✔➼✗➽✤➫❩❅✏✑ p 2U(k, p) − pΦ(k) − Ψ(k) + k 2 c 2U(k, p) = F(k, p). ☞÷✜❱ U(k, p) = 1 p 2 + k 2c 2 F(k, p) + pΦ(k) + Ψ(k) . ☛❪❫✪❝➡ Laplace ✤✥✕❪❫✛✬ U(k, t) = 1 kcΨ(k) sin kct + Φ(k) cos kct + 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ)dτ. ➻➡ Fourier ✤✥✕❪❫✛ u(r, t) = 1 (2π) 3/2 Z ZZ U(k, t) exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 Z ZZ Ψ(k) sin kct kc exp{ik · r} dk + 1 (2π) 3/2 Z ZZ Φ(k) cos kct exp{ik · r} dk + 1 (2π) 3/2 ZZ Z  1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ) dτ  exp{ik · r} dk. ➤✧ Fourier ✤✥✕❞✣ÔÕ✛■✽➲☛òü❡❢æ✕❪❫✛❑✯■Ú❣☛ò✒☞✓✔✕☞✪ ✿✧ k ✔❀✕❤✐❥✛✽➲➸ò❦ F ✦✗æ 1 (2π) 3/2 ZZZ sin kct kc exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 Z ZZ sin kct kc e ikr cos θ k 2 sin θ dk dθ dφ = 1 √ 2πc Z ∞ 0 k sin kct dk Z π 0 e ikr cos θ sin θ dθ = 1 √ 2πc Z ∞ 0 sin kct 1 −ir e ikr cos θ    π 0 dk