设A∈C()是有限秩算子，从有界性可见A将X中有界集S映 射为R(A)中的有界集A(S).因为dimR(A)<oo,故A(S)列紧，于 是A为紧算子 定理 设A是可分Hilbert空间H上的紧算子，则有H上一列有限秩算 子{An}e1使得 lim‖An-Al=0. (2) 注 定理2中的收敛性不能减弱为强收敛.反例如下： 对n∈N,定义P上算子Pm如下： Pnx=(m,…,,0,…）,x=(,…,,n+1,…)∈. 容易证明P,强收敛于飞上单位算子I,但I并非紧算子 泛函分析 November 9,2021 12 /20设 A ∈ L(X) 是有限秩算子, 从有界性可⻅ A 将 X 中有界集 S 映 射为 R(A) 中的有界集 A(S). 因为 dim R(A) < ∞, 故 A(S) 列紧, 于 是 A 为紧算子. 定理 设 A 是可分 Hilbert 空间 H 上的紧算子, 则有 H 上一列有限秩算 子 {An}∞ n=1 使得 limn→∞ ∥An − A∥ = 0. (2) 注 定理 2 中的收敛性不能减弱为强收敛. 反例如下: 对 n ∈ N, 定义 l 2 上算子 Pn 如下: Pnx = (x1, · · · , xn, 0, · · ·), ∀x = (x1, · · · , xn, xn+1, · · ·) ∈ l 2 . 容易证明 Pn 强收敛于 l 2 上单位算子 I, 但 I 并非紧算子. 泛函分析 November 9, 2021 12 / 20