泛函分析 紧算子和Fredholm算子 窦芳芳 数学科学学院 泛函份析 November 9,2021 1/20
泛 函 分 析 紧算子和 Fredholm 算子 窦 芳 芳 数学科学学院 泛函分析 November 9, 2021 1 / 20
紧算子 1.1紧算子的定义与基本性质 1.2紧算子与有限秩算子 Fredholm算子 2.1 Fredholm算子的性质 泛函份析 November 9.2021 2/20
紧算子 1.1 紧算子的定义与基本性质 1.2 紧算子与有限秩算子 Fredholm 算子 2.1 Fredholm 算子的性质 泛函分析 November 9, 2021 2 / 20
紧算子的定义与基本性质 设X和Y为赋范线性空间， 定义 设A∈C(X;).若A把X中每个有界集都映射为Y中列紧集（即对有 界的{}21CX,{A}21恒有收敛的子列)，则称A为紧算子或者全 连续算子 C(X;)表示X到Y的全体紧算子构成的集合.若X=Y,则我们 简记该空间为C(X). 泛函分析 November 9.2021 3/20
紧算子的定义与基本性质 设 X 和 Y 为 赋范线性空间. 定义 设 A ∈ L(X; Y). 若 A 把 X 中每个有界集都映射为 Y 中列紧集 (即对有 界的 {xn}∞ n=1 ⊂ X, {Axn}∞ n=1 恒有收敛的子列), 则称 A 为紧算子或者全 连续算子. C(X; Y) 表示 X 到 Y 的全体紧算子构成的集合. 若 X = Y, 则我们 简记该空间为 C(X). 泛函分析 November 9, 2021 3 / 20
例 设K(,)是[0,1×0,1刂上的连续函数，定义C(0,1)上积分算子如下： (A(9=厂Ks,(⊙dx=)eC0,1). 则A是X=C(0,1)上的紧算子 泛函分析 November 9.2021 4/20
例 设 K(·, ·) 是 [0, 1] × [0, 1] 上的连续函数, 定义 C([0, 1]) 上积分算子如下: (Ax)(s) = ∫ 1 0 K(s, t)x(t)dt, x = x(t) ∈ C([0, 1]). 则 A 是 X = C([0, 1]) 上的紧算子. 泛函分析 November 9, 2021 4 / 20
例 设I为P上的恒等算子.设 -1个 en={0,…,0,1,0,,},n=1,2,·, 则lenl=1,而 ‖%-e=V2,j≠k 故Ie=em,n=1,2,·,没有收敛的子列，从而I不是紧算子 泛函分析 November 9,2021 5/20
例 设 I 为 l 2 上的恒等算子. 设 en = { n−1个 z }| { 0, · · · , 0, 1, 0, · · · }, n = 1, 2, · · · , 则 ∥en∥ = 1, 而 ∥ej − ek∥ = √ 2, j ̸= k. 故 Ien = en, n = 1, 2, · · · , 没有收敛的子列, 从而 I 不是紧算子. 泛函分析 November 9, 2021 5 / 20
定理 设A∈C(X).若xn马0，则Axn→Am: 注 对自反的Banach空间，定理1.4的逆命题也是正确的.即： 设X为自反的Banach空间，A∈C(),若对任给n号o,都 有Azn→A0,则A为紧算子. 但这个结论对非自反的Banach空间不成立.如对，弱收敛和强收敛是 等价的，因而上单位算子将弱收敛序列映射为强收敛序列，但上单 位算子非紧算子 泛函分析 November 9.2021 6/20
定理 设 A ∈ C(X; Y). 若 xn w→x0, 则 Axn → Ax0. 注 对自反的 Banach 空间, 定理 1.4 的逆命题也是正确的. 即： 设 X 为自反的 Banach 空间, A ∈ L(X), 若对任给 xn w→ x0, 都 有 Axn → Ax0, 则 A 为紧算子. 但这个结论对非自反的 Banach 空间不成立. 如对 l 1 , 弱收敛和强收敛是 等价的, 因而 l 1 上单位算子将弱收敛序列映射为强收敛序列, 但 l 1 上单 位算子非紧算子. 泛函分析 November 9, 2021 6 / 20
定理 设A∈C(X;),则R(A)是可分的. 定理 设A;∈C(X;),a;∈C,j=1,2,Z为赋范线性空间，B1∈C(:☑， B2∈C(Z:),则 ()a1A+a2A2∈C(K): (A1B2∈C(Z:,B1A1∈C(X;☑ 泛函份析 November 9,2021 7/20
定理 设 A ∈ C(X; Y), 则 R(A) 是可分的. 定理 设 Aj ∈ C(X; Y), αj ∈ C, j = 1, 2, Z 为赋范线性空间, B1 ∈ L(Y; Z), B2 ∈ L(Z; X), 则 (i) α1A1 + α2A2 ∈ C(X; Y); (ii) A1B2 ∈ C(Z; Y), B1A1 ∈ C(X; Z). 泛函分析 November 9, 2021 7 / 20
定理 设{An}%1CC(X:),A∈C(X;),若lim llAn-A→0， 则A∈C(X;): 推论 C(X;)是一个Banach空间. 定理 设X是无穷维Banach空间，A∈C(X;)且A是单射，则 R(A)≠Y. 定理 设A∈C(),则对任何非零复数入，Ran(I-A)是闭子空间. 泛函分析 November 9,2021 8/20
定理 设 {An}∞ n=1 ⊂ C(X; Y), A ∈ L(X; Y), 若 limn→∞ ∥An − A∥ → 0, 则 A ∈ C(X; Y). 推论 C(X; Y) 是一个 Banach 空间. 定理 设 X 是无穷维 Banach 空间, A ∈ C(X; Y) 且 A 是单射, 则 R(A) ̸= Y. 定理 设 A ∈ C(X), 则对任何非零复数 λ, Ran (λI − A) 是闭子空间. 泛函分析 November 9, 2021 8 / 20
定义 设A是赋范线性空间X到赋范线性空间Y到的有界线性算子，如果 有Y到X的算子A*使得对任何h∈Y,x∈X, (A*R)(x)=h(Ax) (1) 则称A*是A的共轭算子或伴随算子 定理 /Schauder,,1930)设A∈C(X;),则其共轭算子A*∈C(,XW). 泛函分析 November 9.2021 9/20
定义 设 A 是赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 到的有界线性算子, 如果 有 Y′ 到 X′ 的算子 A∗ 使得对任何 h ∈ Y′ , x ∈ X, (A ∗ h)(x) = h(Ax) (1) 则称 A∗ 是 A 的共轭算子或伴随算子. 定理 (Schauder, 1930) 设 A ∈ C(X; Y), 则其共轭算子 A∗ ∈ C(Y′ , X′ ). 泛函分析 November 9, 2021 9 / 20
引理 设A∈C(X),T=I-A,则 codim Ran T<dim Ker T<oo. 定理 设A∈C(),入卡0，则 (1)Ran(AI-A)=N(Ker(AI-A*)); (2)Ran(AI-A*)=N(Ker(AI-A))<oo; (3)dim Ker(AI-A)=dim Ker(AI-A*); (4)codim Ran(AI-A)=dim Ker(AI-A). 泛函分析 November 9,2021 10/20
引理 设 A ∈ C(X), T = I − A, 则 codim Ran T ≤ dim Ker T < ∞. 定理 设 A ∈ C(X), λ ̸= 0, 则 (1) Ran(λI − A) = N ′ (Ker(λI − A∗ )); (2) Ran(λI − A∗ ) = N (Ker(λI − A)) < ∞; (3) dim Ker(λI − A) = dim Ker(λI − A∗ ); (4) codim Ran(λI − A) = dim Ker(λI − A). 泛函分析 November 9, 2021 10 / 20
