泛函分析 有界线性算子的谱理论 窦芳芳 数学科学学院 泛函份析 November 23.2021 1/30
泛 函 分 析 有界线性算子的谱理论 窦 芳 芳 数学科学学院 泛函分析 November 23, 2021 1 / 30
有界线性算子谱的定义和基本性质 1.1有界线性算子谱的定义 1.2预解集的性质 1.3抽象解析函数与谱集的非空性 1.4谱半径公式 紧算子的谱理论 Hilbert空间上自伴紧算子的谱理论 谱系、谱测度和谱积分 酉算子的谱分解 有界自伴算子的谱分解 反问题和自共轭紧算子 泛函分析 November 23.2021 2/30
有界线性算子谱的定义和基本性质 1.1 有界线性算子谱的定义 1.2 预解集的性质 1.3 抽象解析函数与谱集的非空性 1.4 谱半径公式 紧算子的谱理论 Hilbert 空间上自伴紧算子的谱理论 谱系、谱测度和谱积分 酉算子的谱分解 有界自伴算子的谱分解 反问题和自共轭紧算子 泛函分析 November 23, 2021 2 / 30
有界线性算子谱的定义 定义11 设X是复数域C上的Banach空间，A∈C(),I是X上的恒等算 子，称 p(A)={A∈C|XI-A是双射} 为A的预解集；称（入，A)≌(AI-A)~1为A的预解式或预解算子；称 o(A)=C\p(A)为A的谱集，σ(A)中的点称为A的谱点或谱， 注 由逆算子定理，若入∈p(A),则(AI-A)-1∈C(X) 泛函分析 November 23.2021 3/30
有界线性算子谱的定义 定义 1.1 设 X 是复数域 C 上的 Banach 空间, A ∈ L(X), I 是 X 上的恒等算 子, 称 ρ(A) = {λ ∈ C | λI − A 是双射} 为 A 的预解集; 称 R(λ, A) ∆=(λI − A) −1 为 A 的预解式或预解算子; 称 σ(A) = C \ ρ(A) 为 A 的谱集, σ(A) 中的点称为 A 的谱点或谱. 注 由逆算子定理, 若 λ ∈ ρ(A), 则 (λI − A) −1 ∈ L(X). 泛函分析 November 23, 2021 3 / 30
若入走p(A),由Banach逆算子定理，只能有如下三种情况： (1)入I-A不是单射，此时若存在非零向量x∈X使得 Ax=入x (2)λI-A的值域R(入I-A)卡X,但R(AI-A)=X (3)RAI-A)≠X. 泛函分析 November 23.2021 4/30
若 λ ∈/ ρ(A), 由 Banach 逆算子定理, 只能有如下三种情况: (1) λI − A 不是单射, 此时 若存在非零向量 x ∈ X 使得 Ax = λx; (2) λI − A 的值域 R(λI − A) 6= X, 但 R(λI − A) = X; (3) R(λI − A) 6= X. 泛函分析 November 23, 2021 4 / 30
定义1.2 设入∈C,若存在非零向量x∈X使得 A红=入x, 则称入为A的特征值或点谱：称x为A对应于入的特征向量： 定义1.3 设X∈C,若I-A的值域R(AI-A)≠X,但R(I-A)=X,则 称入为A的连续谱 定义1.4 设入∈C,若R(AI-A)卡X,则称入为A的剩余谱. 记A的特征值（连续谱，剩余谱）的全体为σ(A)(σc(A),σr(A) 由上面的讨论可得 C=p(A)U(A)=p(A)UOp(A)Uoc(A)Uo(A) 泛函份析 November 23.2021 5/30
定义 1.2 设 λ ∈ C, 若存在非零向量 x ∈ X 使得 Ax = λx, 则称 λ 为 A 的特征值或点谱; 称 x 为 A 对应于 λ 的特征向量. 定义 1.3 设 λ ∈ C, 若 λI − A 的值域 R(λI − A) 6= X, 但 R(λI − A) = X, 则 称 λ 为 A 的连续谱. 定义 1.4 设 λ ∈ C, 若 R(λI − A) =6 X, 则称 λ 为 A 的剩余谱. 记 A 的特征值 (连续谱, 剩余谱) 的全体为 σp(A) (σc(A), σr(A)). 由上面的讨论可得 C = ρ(A) ∪ σ(A) = ρ(A) ∪ σp(A) ∪ σc(A) ∪ σr(A). 泛函分析 November 23, 2021 5 / 30
例1.5 当X为n维线性空间，A为X上线性变换时，我们有 dim Ran(A-λ)=n-dim Ker(A-λ) 其中RanT和KerT分别表示线性算子T的值域和零空间.因 此A一入I为单射等价于它为满射.于是入∈σ(A)当且仅当入为A的 特征值.换句话说，有限维空间上线性算子的谱即其特征值全体」 泛函份析 November 23.2021 6/30
例 1.5 当 X 为 n 维线性空间, A 为 X 上线性变换时, 我们有 dim Ran (A − λI) = n − dim Ker (A − λI) 其中 Ran T 和 Ker T 分别表示线性算子 T 的值域和零空间. 因 此 A − λI 为单射等价于它为满射. 于是 λ ∈ σ(A) 当且仅当 λ 为 A 的 特征值. 换句话说, 有限维空间上线性算子的谱即其特征值全体. 泛函分析 November 23, 2021 6 / 30
例1.6 设X=Ca),定义X上算子A为 (A(=x(r)dr,Vzla,). A无特征值. 0是A的剩余谱 泛函分析 November 23.2021 7/30
例 1.6 设 X = C([a, b]), 定义 X 上算子 A 为 (Ax)(t) = ∫ t a x(τ )dτ, ∀x ∈ C([a, b]). A 无特征值. 0 是 A 的剩余谱. 泛函分析 November 23, 2021 7 / 30
例1.7 设A∈C(C[a,)定义如下： Au(t)=tu(t),t∈0，T,Hu∈C[a,)- (1) A没有特征值.入∈[a,属于A的剩余谱. 泛函分析 November 23.2021 8/30
例 1.7 设 A ∈ L(C([a, b])) 定义如下: Au(t) = tu(t), t ∈ [0, T], ∀u ∈ C([a, b]). (1) A 没有特征值. λ ∈ [a, b] 属于 A 的剩余谱. 泛函分析 November 23, 2021 8 / 30
例1.8 设X=2(0,1),定义X上有界线性算子A如下： t)→t(t). 若入0,1]，则入∈p(A). σ(A)=oc(A)=0,1. 泛函分析 November 23.2021 9/30
例 1.8 设 X = L 2 (0, 1), 定义 X 上有界线性算子 A 如下: x(t) 7→ tx(t). 若 λ ∈/ [0, 1], 则 λ ∈ ρ(A). σ(A) = σc(A) = [0, 1]. 泛函分析 November 23, 2021 9 / 30
预解集的性质 引理1.9 设X为线性赋范空间，则对任何的A∈C(X)有 limV/A=infA可. nEN 定理1.10 设A∈C(),记T=limA阿，则当N>T时，入∈p(A)并且 w-- An (+I n 泛函分析 November23,202110/30
预解集的性质 引理 1.9 设 X 为线性赋范空间, 则对任何的 A ∈ L(X) 有 limn→∞ √n ||An|| = inf n∈N √n ||An||. 定理 1.10 设 A ∈ L(X), 记 τ = limn→∞ √n ||An||, 则当 |λ| > τ 时, λ ∈ ρ(A) 并且 (λI − A) −1 = ∑∞ n=0 An λn+1 . 泛函分析 November 23, 2021 10 / 30