泛函分析 Hilbert空间 窦芳芳 数学科学学院 泛函份析 November 1,2021 1/41
泛 函 分 析 Hilbert 空间 窦 芳 芳 数学科学学院 泛函分析 November 1, 2021 1 / 41
内积空间与Hilbert空间的定义 正交系和正交基 Riesz表示定理与Lax-Milgram定理 Hilbert空间上的共轭算子 投影定理 投影算子的性质 投影算子与不变子空间 泛函分析 November 1,2021 2/41
内积空间与 Hilbert 空间的定义 正交系和正交基 Riesz 表示定理与 Lax-Milgram 定理 Hilbert 空间上的共轭算子 投影定理 投影算子的性质 投影算子与不变子空间 泛函分析 November 1, 2021 2 / 41
定义 设H是线性空间，如果对任给x,y∈H,都对应着一个数（红，）∈F满足 如下条件： ()正定性：任给x∈H,有(，x)≥0，并且(x,x)=0当且仅当x=0: ()共轭对称性：对任何x,y∈H,有（红，）=(，： (ii)关于第一变元的线性性：对任何x,y,z∈H以及任何a,B∈F,有 (az+By,)=a(I,y)+B(y,2); 则称(，)为H中的内积，而称（红，）为x与y的内积.当F为实数 域时，称定义了内积的H为实内积空间.当F为复数域时，称定义了内 积的H为为复内积空间.一般地，我们称H为数域F上的内积空间 对任何x头，z∈H以及任何a,B∈F,有 (z,QT+By)=(Qx+By,2)=a(T,)+B(y,2) =a(x,2)+(,z=a(a,)+(名，) 因此内积关于第二个变元是共轭线性的 泛函分析 November 1,2021 3/41
定义 设 H 是线性空间, 如果对任给 x, y ∈ H, 都对应着一个数 (x, y) ∈ F 满足 如下条件: (i) 正定性: 任给 x ∈ H, 有 (x, x) ≥ 0, 并且 (x, x) = 0 当且仅当 x = 0; (ii) 共轭对称性: 对任何 x, y ∈ H, 有 (x, y) = (y, x); (iii) 关于第一变元的线性性: 对任何 x, y, z ∈ H 以及任何 α, β ∈ F, 有 (αx + βy, z) = α(x, y) + β(y, z); 则称 (·, ·) 为 H 中的内积, 而称 (x, y) 为 x 与 y 的内积. 当 F 为实数 域时, 称定义了内积的 H 为实内积空间. 当 F 为复数域时, 称定义了内 积的 H 为为复内积空间. 一般地，我们称 H 为数域 F 上的内积空间. 对任何 x, y, z ∈ H 以及任何 α, β ∈ F, 有 (z, αx + βy) = (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) = α(x, z) + β(y, z) = α(z, x) + β(z, y) 因此内积关于第二个变元是共轭线性的. 泛函分析 November 1, 2021 3 / 41
例 设X是n维线性空间，{e1,e2,·,en}是X的-组基，对任 何x=∑巧9，y=∑，令（红=∑.容易验证它是内积.实 际上它与通常的欧几里德空间Cm或R"是同构的. 例 对x=(m,2,…,,…),y=(h,2,…,,…）∈，令 (1) 由Holder不等式可得(1)的右端小于无穷.容易验证(1)满足内积的所 有条件.因此，P是内积空间 泛函份析 November 1,2021 4/41
例 设 X 是 n 维线性空间, {e1, e2, · · · , en} 是 X 的一组基, 对任 何 x = Xn i=1 xjej , y = Xn i=1 yjej , 令 (x, y) = Xn i=1 xjyj . 容易验证它是内积. 实 际上它与通常的欧几里德空间 C n 或 R n 是同构的. 例 对 x = (x1, x2, · · · , xn, · · ·), y = (y1, y2, · · · , yn, · · ·) ∈ l 2 , 令 (x, y) = X∞ n=1 xnyn. (1) 由 Hölder 不等式可得 (1) 的右端小于无穷. 容易验证 (1) 满足内积的所 有条件. 因此，l 2 是内积空间. 泛函分析 November 1, 2021 4 / 41
例 在2(a,b)定义内积如下： 5g)=9(d, 容易验证它是一个内积. 引理 (Schwarz不等式)设H是内积空间.对任何x,y∈H,我们有 1(红，2≤（红，x(,. (2) 泛函分析 November 1,2021 5/41
例 在 L 2 (a, b) 定义内积如下: (f, g) = Z b a f(x)g(x)dx, ∀f, g ∈ L 2 [a, b]. 容易验证它是一个内积. 引理 (Schwarz 不等式) 设 H 是内积空间. 对任何 x, y ∈ H, 我们有 |(x, y)| 2 ≤ (x, x)(y, y). (2) 泛函分析 November 1, 2021 5 / 41
命题 设H是内积空间.对任何x∈H,令 川=Va,, 则‖·川是H上的范数. 由命题1.1可知内积空间上都有一个自然的范数川=（红，）立.下 面我们证明在此范数下内积空间是一个赋范线性空间.我们只需证明在 此范数诱导的度量下内积(，)是连续的即可. 命题 设H是内积空间，赋予其内积诱导的范数，则其内积(，)是H上的二 元连续函数 泛函分析 November 1,2021 6/41
命题 设 H 是内积空间. 对任何 x ∈ H, 令 ||x|| = p (x, x), 则 || · || 是 H 上的范数. 由命题 1.1 可知内积空间上都有一个自然的范数 ||x|| = (x, x) 1 2 . 下 面我们证明在此范数下内积空间是一个赋范线性空间. 我们只需证明在 此范数诱导的度量下内积 (·, ·) 是连续的即可. 命题 设 H 是内积空间, 赋予其内积诱导的范数, 则其内积 (·, ·) 是 H 上的二 元连续函数. 泛函分析 November 1, 2021 6 / 41
今后在没有特别声明的情况下，都把内积空间看成是线性赋范空间， 其范数是由内积诱导出来的： 定义 完备的内积空间称为Hilbert空间. 例1.2-1.4给出的内积空间都是Hilbert空间.（只需证明这些空间 的内积诱导出的度量为第一章中对它们引入的度量即可) 由任何度量空间都可以完备化可推出任何内积空间必可完备化称 为Hilbert空间. 定理 设H是内积空间，川·‖是由内积诱导的范数，则下面的平行四边行等式 成立： lx+2+lx-2=2(l2+‖2)，Vx,y∈H. 泛函分析 November 1,2021 7/41
今后在没有特别声明的情况下, 都把内积空间看成是线性赋范空间, 其范数是由内积诱导出来的. 定义 完备的内积空间称为 Hilbert 空间. 例 1.2–1.4 给出的内积空间都是 Hilbert 空间. (只需证明这些空间 的内积诱导出的度量为第一章中对它们引入的度量即可). 由任何度量空间都可以完备化可推出任何内积空间必可完备化称 为 Hilbert 空间. 定理 设 H 是内积空间, || · || 是由内积诱导的范数, 则下面的平行四边行等式 成立: ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ), ∀ x, y ∈ H. 泛函分析 November 1, 2021 7 / 41
定义 设H是内积空间，(，)是其内积.如果飞y∈H使得（红，）=0，则 称x与y正交，记为x⊥ 由向量的正交可给出下列概念： 定义 (①)设M是H的子集，如果x与M中的任何元素都正交，则 称x与M正交，记为x⊥M ()设M,N是H中的两个子集，如果对任意x∈M以及任意y∈N, 有x⊥，则称M与N正交，记为M⊥N; )设M是H的子集，称H中的所有与M正交的元素的全体为M的 正交系，记为止，即 M={x∈lx⊥M 泛函分析 November 1,2021 8/41
定义 设 H 是内积空间, (·, ·) 是其内积. 如果 x, y ∈ H 使得 (x, y) = 0, 则 称 x 与 y 正交, 记为 x ⊥ y. 由向量的正交可给出下列概念: 定义 (i) 设 M 是 H 的子集, 如果 x 与 M 中的任何元素都正交, 则 称 x 与 M 正交，记为 x ⊥ M; (ii) 设 M, N 是 H 中的两个子集, 如果对任意 x ∈ M 以及任意 y ∈ N, 有 x ⊥ y, 则称 M 与 N 正交, 记为 M ⊥ N; (iii) 设 M 是 H 的子集, 称 H 中的所有与 M 正交的元素的全体为 M 的 正交系, 记为 M⊥, 即 M⊥ = {x ∈ H|x ⊥ M}. 泛函分析 November 1, 2021 8 / 41
从上面的定义，我们容易得到如下的性质： ()设MCH,x∈H,则x⊥M当且仅当x⊥M: ()x⊥H当且仅当x=0: (iii)当MCNCH时，NcM; (iv)对任何MCH,MnM={O}: (w)勾股定理：当x⊥y时，z+2=川2+川2. 定理 设H是内积空间，MCH,则M小是H的闭线性子空间，并且 Ml=(span M0=(span☑， (3) 其中span M表示由M张成的线性子空间. 泛函分析 November 1,2021 9/41
从上面的定义，我们容易得到如下的性质: (i) 设 M ⊂ H, x ∈ H, 则 x ⊥ M 当且仅当 x ⊥ M; (ii) x ⊥ H 当且仅当 x = 0; (iii) 当 M ⊂ N ⊂ H 时, N⊥ ⊂ M⊥; (iv) 对任何 M ⊂ H, M ∩ M⊥ = {0}; (v) 勾股定理: 当 x ⊥ y 时, ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 . 定理 设 H 是内积空间, M ⊂ H, 则 M⊥ 是 H 的闭线性子空间, 并且 M⊥ = (span M) ⊥ = (span M) ⊥, (3) 其中 span M 表示由 M 张成的线性子空间. 泛函分析 November 1, 2021 9 / 41
定义 设H是内积空间，I是一个指标集，{e}z是H中的一族元素.如果对 任给j,k∈I,j≠k有(e,e)=0,则称{e}ez是H中的正交集.如果 {e}ez是H中的正交集，并且对每一个je1,有le=1,则 称{e}红是H中的标准正交系.如果{e}红是H中的标准正交系，并 且{e}z的正交补为零向量，则称{e}红为H中完全的标准正交系 定义 设H是内积空间，{e}工是H中的一个标准正交系.对每一个x∈H, 称数集{(z,ej∈I)为x的Fourier系数集，其中元素称 为x的Fourier系数， 泛函分析 November 1,2021 10/41
定义 设 H 是内积空间, I 是一个指标集, {ej}j∈I 是 H 中的一族元素. 如果对 任给 j, k ∈ I, j ̸= k 有 (ej , ek) = 0, 则称 {ej}j∈I 是 H 中的正交集. 如果 {ej}j∈I 是 H 中的正交集, 并且对每一个 j ∈ I, 有 ||ej || = 1, 则 称 {ej}j∈I 是 H 中的标准正交系. 如果 {ej}j∈I 是 H 中的标准正交系, 并 且 {ej}j∈I 的正交补为零向量, 则称 {ej}j∈I 为 H 中完全的标准正交系. 定义 设 H 是内积空间, {ej}j∈I 是 H 中的一个标准正交系. 对每一个 x ∈ H, 称数集 {(x, ej)|j ∈ I} 为 x 的 Fourier 系数集, 其中元素称 为 x 的 Fourier 系数. 泛函分析 November 1, 2021 10 / 41