泛函分析 Banach空间 窦芳芳 数学科学学院 泛函份析 October11,20211/53
泛 函 分 析 Banach 空间 窦 芳 芳 数学科学学院 泛函分析 October 11, 2021 1 / 53
Banach空间的定义及重要例子 1.1线性空间 1.2半范数与范数 1.3赋范线性空间与Banach空间 1.4有限维赋范线性空间与Riesz引理 有界线性算子和有界线性泛函 开映射定理 有界线性算子的逆 闭图像定理与共鸣定理 Hahn-Banach定理 Hahn-Banach定理的应用 7.1 Hahn-Banach定理的几何形式 7.2凸集分离定理 7.3测度问题 泛函分析 October 11,2021 2/53
Banach 空间的定义及重要例子 1.1 线性空间 1.2 半范数与范数 1.3 赋范线性空间与 Banach 空间 1.4 有限维赋范线性空间与 Riesz 引理 有界线性算子和有界线性泛函 开映射定理 有界线性算子的逆 闭图像定理与共鸣定理 Hahn-Banach 定理 Hahn-Banach 定理的应用 7.1 Hahn-Banach 定理的几何形式 7.2 凸集分离定理 7.3 测度问题 泛函分析 October 11, 2021 2 / 53
定义 设X是非空集合，F是数域（实数域或复数域），如果在X上定义了加 法运算和数乘运算满足如下公设： Ox十y=y+E ©x+(y+=(x+)+之 OX存在唯一元素，用0表示，使对每个x∈X,x+0=x.0称为X 中的零元 Q对X中的每个元素x,都存在唯一元素，用-x表示，使 x+(-)=0 a(x+y)=ax+ay ⊙(a+B)x=ax+Bx 0a(3x)=(a3)x ⑧1x=0 这里，x,头，z∈X,α，B∈F.则称X按上述加法和数乘成为复（当F是 复数域)或实（当F是实数域）线性空间 泛函份析 October 11,2021 3/53
定义 设 X 是非空集合，F 是数域（实数域或复数域）. 如果在 X 上定义了加 法运算和数乘运算满足如下公设： 1 x + y = y + x 2 x + (y + z) = (x + y) + z 3 X 存在唯一元素，用 0 表示，使对每个 x ∈ X, x + 0 = x. 0 称为 X 中的零元 4 对 X 中的每个元素 x, 都存在唯一元素，用 −x 表示，使 x + (−x) = 0 5 α(x + y) = αx + αy 6 (α + β)x = αx + βx 7 α(βx) = (αβ)x 8 1x = x0 这里，x, y, z ∈ X, α, β ∈ F. 则称 X 按上述加法和数乘成为复（当 F 是 复数域）或实（当 F 是实数域）线性空间. 泛函分析 October 11, 2021 3 / 53
定义 线性空间X中的一个非空子集M称为X中的线性流形，如果对任意的 x,y∈M与数a,都有x+弘，ax∈M. 如果M是X中的一个线性流形，此M本身也成为线性空间. 设，2，…，m是线性空间X中的n个元素，a1,·,an是n个 数，形如a1西十…+ann的元素称为元素，2，·，n的线性组合 设S是线性空间X的任意非空子集，S中元素的所有线性组合的 集合M是X的一个线性流形，称为由S张成的线性流形，记为 M=span{sh. 。M是X中包含S的所有的线性流形的交， QM是X中包含S的最小线性流形，即如果N是X中包含S的线 性流形，则N也包含M. 泛函分析 October 11,2021 4/53
定义 线性空间 X 中的一个非空子集 M 称为 X 中的线性流形，如果对任意的 x, y ∈ M 与数 α, 都有 x + y, αx ∈ M. 如果 M 是 X 中的一个线性流形，此 M 本身也成为线性空间. 设 x1, x2, · · · , xn 是线性空间 X 中的 n 个元素，α1, · · · , αn 是 n 个 数，形如 α1x1 + · · · + αnxn 的元素称为元素 x1, x2, · · · , xn 的线性组合. 设 S 是线性空间 X 的任意非空子集，S 中元素的所有线性组合的 集合 M 是 X 的一个线性流形，称为由 S 张成的线性流形，记为 M = span{S}. 1 M 是 X 中包含 S 的所有的线性流形的交. 2 M 是 X 中包含 S 的最小线性流形，即如果 N 是 X 中包含 S 的线 性流形，则 N 也包含 M. 泛函分析 October 11, 2021 4 / 53
线性空间中最重要的概念是线性相关与线性无关 定义 线性空间X中有限的向量集合{，·，}是线性相关的，如果存在不 全为零的数a1,·,an,使a+…+ann=0.否则，就称为线性无 关的，这时关系a1+·+andm=0蕴含a1=·=an.一个无穷的 向量集合S称为线性无关的，如果S的每个有限子集都是线性无关的 否则，S称为线性相关的 容易看出，包含一个线性相关子集的集合一定线性相关；线性无关 集一定包含零向量， 定义 设线性空间X,如果存在正整数n,使X包含由n个向量组成的线性 无关集，而且X中每n+1个向量的集合都是线性相关的，则称X是 有限维的；如此的n称为X的维数，有时记作dimX=n 只有零向量的线性空间也称为有限维的，即零维的.如果X不是有限维 的，就称为无穷维的，这时记作dimX=oo. 泛函分析 October 11,2021 5/53
线性空间中最重要的概念是线性相关与线性无关. 定义 线性空间 X 中有限的向量集合 {x1, · · · , xn} 是线性相关的，如果存在不 全为零的数 α1, · · · , αn，使 ax1 + · · · + αnxn = 0. 否则，就称为线性无 关的，这时关系 α1x1 + · · · + αnxn = 0 蕴含 α1 = · · · = αn. 一个无穷的 向量集合 S 称为线性无关的，如果 S 的每个有限子集都是线性无关的. 否则，S 称为线性相关的. 容易看出，包含一个线性相关子集的集合一定线性相关；线性无关 集一定包含零向量. 定义 设线性空间 X，如果存在正整数 n，使 X 包含由 n 个向量组成的线性 无关集，而且 X 中每 n + 1 个向量的集合都是线性相关的，则称 X 是 有限维的；如此的 n 称为 X 的维数，有时记作 dimX = n. 只有零向量的线性空间也称为有限维的，即零维的. 如果 X 不是有限维 的，就称为无穷维的，这时记作 dimX = ∞. 泛函分析 October 11, 2021 5 / 53
定义 线性空间X的有限子集S称为X的基，如果S是线性无关的，而且S 长成的线性流形就是整个X. 在线性代数中我们已经知道，线性空间X是n维的，当且仅当X 有一个由n个元素组成的基.n维线性空间的每个基都含有n个元素. 有限维空间X的任意一个线性流形M也是有限维的，而且 dimM≤dimX. 定义 设X是线性空间.给定X的两个线性流形M,N,我们用M+N表示所 有形如m+n,m∈M,n∈N之元素的集合，称为M与N的和.如果还 有MnN={O,即M与N有唯一公共元0，则以M⊕N代替M+N, 称为M与N的直接和. 如果X=M⊕N,则称M与N是代数互补的线性流形，N是M在 X中的一个代数补 泛函分析 October 11,2021 6/53
定义 线性空间 X 的有限子集 S 称为 X 的基，如果 S 是线性无关的，而且 S 长成的线性流形就是整个 X. 在线性代数中我们已经知道，线性空间 X 是 n 维的，当且仅当 X 有一个由 n 个元素组成的基. n 维线性空间的每个基都含有 n 个元素. 有限维空间 X 的任意一个线性流形 M 也是有限维的，而且 dimM ⩽ dimX. 定义 设 X 是线性空间. 给定 X 的两个线性流形 M, N，我们用 M + N 表示所 有形如 m + n, m ∈ M, n ∈ N 之元素的集合，称为 M 与 N 的和. 如果还 有 M ∩ N = {0}，即 M 与 N 有唯一公共元 0，则以 M ⊕ N 代替 M + N， 称为 M 与 N 的直接和. 如果 X = M ⊕ N, 则称 M 与 N 是代数互补的线性流形, N 是 M 在 X 中的一个代数补. 泛函分析 October 11, 2021 6 / 53
定理 设M,N是线性空间X的线性流形，则X=M⊕N当且仅当对每个 x∈X有唯一表达式 x=m+n,m∈M,n∈N. (1) 定理 如果X=M⊕N,则 dimX=dim M+dim N. 泛函分析 October11,20217/53
定理 设 M, N 是线性空间 X 的线性流形，则 X = M ⊕ N 当且仅当对每个 x ∈ X 有唯一表达式 x = m + n, m ∈ M, n ∈ N. (1) 定理 如果 X = M ⊕ N，则 dim X = dim M + dim N. 泛函分析 October 11, 2021 7 / 53
半范数与范数 定义 设X是线性空间，若函数p:X→R满足： ()(次可加性)(x+)≤p()+p(),x,y∈X (ii)p(az)=lalp(r), 则称其为X上的半范数， 命题 设p:X→R是线性空间X上的半范数.则 ()p(0)=0,p(≥0，Hx∈X ()lp()-p(≤p(x-),H,y∈X. 泛函分析 October11,20218/53
半范数与范数 定义 设 X 是线性空间, 若函数 p : X → R 满足: (i) (次可加性) p(x + y) ⩽ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X; (ii) p(αx) = |α|p(x), 则称其为 X 上的半范数. 命题 设 p : X → R 是线性空间 X 上的半范数. 则 (i) p(0) = 0, p(x) ⩾ 0, ∀ x ∈ X; (ii) |p(x) − p(y)| ⩽ p(x − y), ∀ x, y ∈ X. 泛函分析 October 11, 2021 8 / 53
定义 设M为X中凸子集.若x∈M,a≤1时，有ax∈M,则称M是平衡 的；若对任何x∈X,存在ex>0,使得当a≤ez时，有ax∈M,则 称M是吸收的 定理 设p()是线性空间X上的半范数，C是正常数.则集合 Mc={x∈Xp()≤C 具有如下性质： (①0∈Mc: (i)Mc是X中的凸子集，即当x,y∈Mc,0≤a≤1时，有 ax+(1-a)y∈Mc (ii)Mc是平衡的； (v)Mc是吸收的； (v)p(z)=inffac a >0,aE Mc}. 泛函分析 October11,20219/53
定义 设 M 为 X 中凸子集. 若 x ∈ M, |α| ≤ 1 时, 有 αx ∈ M, 则称 M 是平衡 的; 若对任何 x ∈ X, 存在 εx > 0, 使得当 |α| ⩽ εx 时, 有 αx ∈ M, 则 称 M 是吸收的. 定理 设 p(x) 是线性空间 X 上的半范数, C 是正常数. 则集合 MC = {x ∈ X| p(x) ⩽ C} 具有如下性质: (i) 0 ∈ MC; (ii) MC 是 X 中的凸子集, 即当 x, y ∈ MC, 0 ≤ α ≤ 1 时, 有 αx + (1 − α)y ∈ MC; (iii) MC 是平衡的; (iv) MC 是吸收的; (v) p(x) = inf{αC| α > 0, α−1 x ∈ MC}. 泛函分析 October 11, 2021 9 / 53
定理1.11告诉我们从一个半范数出发可定义出一族吸收的平衡的 凸集.下面我们来考虑反面情况. 定义 设M是线性空间X中的平衡且吸收的凸子集，定义由M诱导出的 Minkowski泛函映射pM:X→O,+oo)如下 pM(r)=inffal a 0,aE M. Minkowski泛函是研究凸集的有效且重要工具 定理 设M是线性空间X中的吸收的平衡的凸子集，则由M诱导出的 Minkowski泛函pM()是X上的半范数. 泛函分析 0 ctober11,202110/53
定理 1.11 告诉我们从一个半范数出发可定义出一族吸收的平衡的 凸集. 下面我们来考虑反面情况. 定义 设 M 是线性空间 X 中的平衡且吸收的凸子集, 定义由 M 诱导出的 Minkowski 泛函映射 pM : X → [0, +∞) 如下: pM(x) = inf{α| α > 0, α−1 x ∈ M}. Minkowski 泛函是研究凸集的有效且重要工具. 定理 设 M 是线性空间 X 中的吸收的平衡的凸子集, 则由 M 诱导出的 Minkowski 泛函 pM(·) 是 X 上的半范数. 泛函分析 October 11, 2021 10 / 53