Sobolev空间 广义函数 窦芳芳 2021年11月23日 日++02元克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobolev 空间 广义函数 窦芳芳 2021 年 11 月 23 日 窦芳芳 Sobolev 空间
具紧支集的光滑函数 广义函数 缓增分布及Fourier变换 Fourier变换 Schwarz 缓增分布 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 具紧支集的光滑函数 2 广义函数 3 缓增分布及 Fourier 变换 Fourier 变换 Schwarz 函数类 缓增分布 窦芳芳 Sobolev 空间
Ck(R空间 C(R”)=BC(R)是Rn上有界连续函数f:Rn→C组成的 Banach空间，其范数定义为 llflo® 会sup fx)训 X∈Rn 对任意非负整数k,可定义所有k次连续可微且各阶导数均 有界的函数集合为Banach空间C*(Rn),其范数为 ce∑∑ sup lof(x)l. j=0 lal=j X∈Rn C∞(R)兰∩1C*(R”)(光滑函数，且所有阶导数均有界). 口0171元电月只0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C k (R n ) 空间 C 0 (R n ) = BC(R n ) 是 R n 上有界连续函数 f : R n → C 组成的 Banach 空间，其范数定义为 ||f||C0(Rn) △ = sup x∈Rn |f(x)|. 对任意非负整数 k，可定义所有 k 次连续可微且各阶导数均 有界的函数集合为 Banach 空间 C k (R n )，其范数为 ||f||Ck(Rn) △ = X k j=0 X |α|=j sup x∈Rn |∂ α f(x)|. C∞(R n ) △ = T∞ k=1 C k (R n ) (光滑函数，且所有阶导数均有界). 窦芳芳 Sobolev 空间
注1.1 在某些文献中，C(R)也被用来记k次连续可微的函数集.这类 函数有可能是无界的.如e∈C*(R).这里，我们将记这类函数 (有无界导数)的集合为C(R)即它们仅在局部是C的)，而 不是C*(R) 如果f∈C*(2),g∈C(2),则fg∈Cmim(k0(2),且乘子映射 从C*(2)×C()到Cmin(k,0(2)连续的. c(R")C(R)C(R).... 对任意m≥0阶常系数偏微分算子 L=∑x0X” lal≤m 对任意k≥0，L是从C+m(R)到C*(R”)的有界线性算子 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 注 1.1 在某些文献中, Ck (R n ) 也被用来记 k 次连续可微的函数集. 这类 函数有可能是无界的. 如 e x ∈ C k (R). 这里，我们将记这类函数 (有无界导数) 的集合为 C k loc(R n ) (即它们仅在局部是 C k 的), 而 不是 C k (R n ). 如果 f ∈ C k (Ω)，g ∈ C l (Ω), 则 fg ∈ C min(k,l) (Ω), 且乘子映射 从 C k (Ω) × C l (Ω) 到 C min(k,l) (Ω) 连续的. C 0 (R n ) ⊃ C 1 (R n ) ⊃ C 2 (R n ) ⊃ · · · . 对任意 m ≥ 0 阶常系数偏微分算子 L = X |α|≤m cα ∂ α ∂x α1 1 · · · ∂x αd d , 对任意 k ≥ 0，L 是从 C k+m(R n ) 到 C k (R n ) 的有界线性算子. 窦芳芳 Sobolev 空间
记C(R)为所有光滑且有紧支集的函数f:Rn→C的集 合.称f∈C2(R)为试验函数. 设f:R→R定义为 e-1/ if t>0, lo, ift≤0 是光滑的.则(x)=a-11-x2)是一个试验函数，其中 a=∫Rnf1-lxP)dk.对e>0,令pe(x=e-npe(x/e) 对每-e>0,Pe∈C0(R")满足 pe≥0，supp(pe)C{x∈R”:X≤e .=1. 这类函数称为磨光化子。 口卡+01t1电月只0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 记 C∞ c (R n ) 为所有光滑且有紧支集的函数 f : R n → C 的集 合. 称 f ∈ C∞ c (R n ) 为试验函数. 设 f : R → R 定义为 f(t) = e −1/t , if t > 0, 0, if t ≤ 0 是光滑的. 则 φ(x) = a −1 f(1 − |x| 2 ) 是一个试验函数，其中 a = R Rn f(1 − |x| 2 )dx. 对 ε > 0, 令 φε(x) = ε −nφε(x/ε). 对每一 ε > 0, φε ∈ C∞ 0 (R n ) 满足 φε ≥ 0 , supp (φε) ⊂ {x ∈ R n : |x| ≤ ε}, Z Rn φεdx = 1. 这类函数称为磨光化子. 窦芳芳 Sobolev 空间
令f∈L(2),其中2在Rn中为开集，假设f的支集满足 supp(fCC2.则从supp(f)到2的距离是一个正数6.对f 在的补集上做零延拓，将延拓的L1(R”)新函数也记为f对 每个ε>0定义光滑函数 E(x)= fx-y)pεy)dy, x∈Rn. (1) 引理1 对每个e>0,supp(f)Csupp()+{y∈Rn:M≤e}且 fE∈Ce(R) 引理2 如果f∈Co(2),则fE→f在2上是一致的.如果f∈LP(), 1≤p<o,则lll@,≤‖la且→finL(2). 1日11回21元，克0只0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 令 f ∈ L 1 (Ω), 其中 Ω 在 R n 中为开集, 假设 f 的支集满足 supp (f) ⊂⊂ Ω. 则从 supp (f) 到 ∂Ω 的距离是一个正数 δ. 对 f 在 Ω 的补集上做零延拓，将延拓的 L 1 (R n ) 新函数也记为 f. 对 每个 ε > 0 定义光滑函数 fε(x) = Z Rn f(x − y)φε(y) dy , x ∈ R n . (1) 引理 1 对每个 ε > 0, supp (fε) ⊂ supp (f) + {y ∈ R n : |y| ≤ ε} 且 fε ∈ C∞ c (R n ). 引理 2 如果 f ∈ C0(Ω), 则 fε → f 在 Ω 上是一致的. 如果 f ∈ L p (Ω), 1 ≤ p < ∞, 则 ||fε||Lp(Ω) ≤ ||f||Lp(Ω) 且 fε → f in Lp (Ω). 窦芳芳 Sobolev 空间
定理3 C(2)在LP(2)中稠密 如果f∈C(R),g:Rn→R绝对可积且有紧支集，则卷积 f*g∈Ce(R) 性质1.1 (C∞Urysohn引理)设K是Rn的一个紧子集，令U为K的一个 开邻域.则存在一个支集在U中函数f:C(R),且在K中等 于1. 日+021元克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定理 3 C∞ c (Ω) 在 L p (Ω) 中稠密. 如果 f ∈ C∞ c (R n )，g : R n → R 绝对可积且有紧支集, 则卷积 f ∗ g ∈ C∞ c (R n ). 性质 1.1 (C∞ Urysohn 引理) 设 K 是 R n 的一个紧子集, 令 U 为 K 的一个 开邻域. 则存在一个支集在 U 中函数 f : C∞ c (R n )，且在 K 中等 于 1. 窦芳芳 Sobolev 空间
定义4 设{f}21是C(2)中的一个序列，令f是C(2)中的另一个 函数.称{f21在C(2)的拓扑下收敛于f当且仅当存在一个 紧集K使得fn,f的支集都在K中，且fn在光滑拓扑C©()下 收敛于f 性质1.2 设K是一个紧集.X是一个赋范向量空间，线性映射 T:C©(K)→X连续，当且仅当存在k≥0，C>0使得 I‖Tx≤qlck(N对所有f∈Ce(K闪成立. 性质1.3 设K,K为紧集.线性映射T:C2(K)→C(K)连续，当且仅 当对每个k≥0都存在K>0和常数Ck>0使得对所有 f∈C()都有‖Tfck≤Ckfo 克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定义 4 设 {fk}∞ k=1 是 C∞ c (Ω) 中的一个序列, 令 f 是 C∞ c (Ω) 中的另一个 函数. 称 {fk}∞ k=1 在 C∞ c (Ω) 的拓扑下收敛于 f 当且仅当存在一个 紧集 K 使得 fn, f 的支集都在 K 中, 且 fn 在光滑拓扑 C∞(K) 下 收敛于 f. 性质 1.2 设 K 是一个紧集. X 是一个赋范向量空间，线性映射 T : C∞ c (K) → X 连续，当且仅当存在 k ≥ 0，C > 0 使得 ||Tf||X ≤ C||f||Ck(K) 对所有 f ∈ C∞ c (K) 成立. 性质 1.3 设 K,K ′ 为紧集. 线性映射 T : C∞ c (K) → C∞ c (K ′ ) 连续，当且仅 当对每个 k ≥ 0 都存在 k ′ ≥ 0 和常数 Ck > 0 使得对所有 f ∈ C∞ c (K) 都有 ||Tf||Ck ≤ Ck||f||Ck ′ . 窦芳芳 Sobolev 空间
性质1.4 对每个0<p≤∞，从C(2)到LP(①)的单射连续 性质1.5 映射T:C(2)→C()连续当且仅当对每个紧集KCR",存 在紧集K使得T连续映射C()到C(K) 性质1.6 每个有光滑系数的线性微分算子是C(2)上的连续算子 性质1.7 任一绝对可积、紧支的函数都是C(R”)上的连续算子 日卡4021元月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 性质 1.4 对每个 0 < p ≤ ∞，从 C∞ c (Ω) 到 L p (Ω) 的单射连续. 性质 1.5 映射 T : C∞ c (Ω) → C∞ c (Ω) 连续当且仅当对每个紧集 K ⊂ R n，存 在紧集 K ′ 使得 T 连续映射 C∞ c (K) 到 C∞ c (K ′ ). 性质 1.6 每个有光滑系数的线性微分算子是 C∞ c (Ω) 上的连续算子. 性质 1.7 任一绝对可积、紧支的函数都是 C∞ c (R n ) 上的连续算子. 窦芳芳 Sobolev 空间
Contents 。2.1具紧支集的光滑函数 。2.2广义函数 。2.3缓增分布及Fourier变换 日+021元克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contents 2.1 具紧支集的光滑函数 2.2 广义函数 2.3 缓增分布及 Fourier 变换 窦芳芳 Sobolev 空间