泛函分析 度量空间 窦芳芳 数学科学学院 泛函份析 September 7,2021 1/54
泛 函 分 析 度量空间 窦 芳 芳 数学科学学院 泛函分析 September 7, 2021 1 / 54
度量空间 1.1度量空间的定义 1.2完备性 度量空间中的开集和闭集 纲与Baire纲定理 度量空间的重要性质 Arzela-Ascoli定理 Banach压缩映象原理 6.1 Banach压缩映像原理的应用 常微分方程的初值问题解的正则性：Picard定理 在积分方程中的应用 Newton迭代法的收敛性 泛函分析 September 7,2021 2/54
度量空间 1.1 度量空间的定义 1.2 完备性 度量空间中的开集和闭集 纲与 Baire 纲定理 度量空间的重要性质 Arzela-Ascoli 定理 Banach 压缩映象原理 6.1 Banach 压缩映像原理的应用 常微分方程的初值问题解的正则性：Picard 定理 在积分方程中的应用 Newton 迭代法的收敛性 泛函分析 September 7, 2021 2 / 54
定义 设X是一个非空集合.若映射d:X×X→[0，+o∞)满足下面三条性质： (①)（非负性与唯一性）d(a,)≥0，d(x,)=0÷x=5 (i)(对称性)d(x,=d(y,: i)(三角不等式)d(x,)≤d(x,)+d(a,: 则称d(,)为X上的距离函数或度量函数，(X,d)为度量空间或距离空 间. 在不引起混淆的情况下，有时简记(X,)为X.X中的元素称为点. 结合()、()很容易得到下面的不等式： d(x,)-d(y,≤d(x,. (1) 设YsX,定义Y上的度量dy(,)为 dy(x,)=d(x,,Hx,y∈Y, 则(Y,dy)是一个度量空间， 泛函份析 September 7,2021 3/54
定义 设 X 是一个非空集合. 若映射 d : X × X → [0, +∞) 满足下面三条性质: (i) (非负性与唯一性) d(x, y) ⩾ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y; (ii) (对称性) d(x, y) = d(y, x); (iii) (三⻆不等式) d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y). 则称 d(·, ·) 为 X 上的距离函数或度量函数, (X, d) 为度量空间或距离空 间. 在不引起混淆的情况下, 有时简记 (X, d) 为 X. X 中的元素称为点. 结合 (ii)、(iii) 很容易得到下面的不等式: |d(x, y) − d(y, z)| ⩽ d(x, z). (1) 设 Y ⊆ X, 定义 Y 上的度量 dY(·, ·) 为 dY(x, y) = d(x, y), ∀ x, y ∈ Y, 则 (Y, dY) 是一个度量空间. 泛函分析 September 7, 2021 3 / 54
例 设Q为全体有理数组成的集合.定义Q上度量 d(,):Q×Q+[0,+o∞)如下 d(x,=x-,廿x,y∈Q, 则(Q,d)是一个度量空间. 例 设d(,):R×R→[0，+o∞)为 d(x,=x-,x,y∈R 则d(,)是R上的度量，(R,d)是一个度量空间. 泛函分析 September 7,2021 4/54
例 设 Q 为全体有理数组成的集合. 定义 Q 上度量 d(·, ·) : Q × Q → [0, +∞) 如下: d(x, y) = |x − y|, ∀ x, y ∈ Q, 则 (Q, d) 是一个度量空间. 例 设 d(·, ·) : R × R → [0, +∞) 为 d(x, y) = |x − y|, ∀ x, y ∈ R, 则 d(·, ·) 是 R 上的度量, (R, d) 是一个度量空间. 泛函分析 September 7, 2021 4 / 54
例 设n∈N,定义d:Rm×Rm→[0，+o)上的函数d(,)为： d(x)= 巧职其中=a人g=….四 则d(,)是Rn上的度量，(Rm,d)为度量空间. 泛函份析 September 7,2021 5/54
例 设 n ∈ N, 定义 d : R n × R n → [0, +∞) 上的函数 d(·, ·) 为: d(x, y) = vuut ∑n j=1 (xj − yj) 2, 其中x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn), (2) 则 d(·, ·) 是 R n 上的度量, (R n , d) 为度量空间. 泛函分析 September 7, 2021 5 / 54
例 设n∈N,p≥1，定义d:R”×R”→[0，+oo)上的函数d(,)为： dz=[∑巧-]其中z=(a,,.y=m.,小同 则d(,)是R”上的度量，(R”,d)为度量空间 泛函份析 September 7,2021 6/54
例 设 n ∈ N, p ≥ 1, 定义 d : R n × R n → [0, +∞) 上的函数 d(·, ·) 为: d(x, y) = [∑n j=1 (xj − yj) p ] 1 p , 其中x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn), (3) 则 d(·, ·) 是 R n 上的度量, (R n , d) 为度量空间. 泛函分析 September 7, 2021 6 / 54
例 设n∈N,定义d:R×Rm→[0，+oo)上的函数d(,)为： d(红别=搜l巧-其中x=(a,…,n小，y=(n,…,h，(④ 则d(,)是Rm上的度量，(R”,d)为度量空间. 上面三个例子中集合相同，但赋予了不一样的度量，得到了不同的度 量空间. 泛函份析 September 7,2021 7/54
例 设 n ∈ N, 定义 d : R n × R n → [0, +∞) 上的函数 d(·, ·) 为: d(x, y) = max 1≤j≤n |xj − yj |, 其中x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn), (4) 则 d(·, ·) 是 R n 上的度量, (R n , d) 为度量空间. 上面三个例子中集合相同, 但赋予了不一样的度量, 得到了不同的度 量空间. 泛函分析 September 7, 2021 7 / 54
例 对满足1≤p<∞的实数p,令 e={e=a,2…,m…p<∞} 则(P,d(,)是度量空间，其中d(,)定义为 1/p d(x,= lk-ylP ,x=(m,2,…),y=(h,2,…)∈P. =1 例 令={=(，2，…，…小SuPN<∞}则(，d6,》是 度量空间，其中d(,)定义为 d(x=sup马-l,x=(,2,…),y=(h,2…）∈. jEN 泛函份析 September 7,2021 8/54
例 对满足 1 ≤ p < ∞ 的实数 p, 令 ℓ p = { x = (x1, x2, · · · , xn, · · ·) ∑∞ k=1 |uk| p < ∞ } . 则 (ℓ p , d(·, ·)) 是度量空间, 其中 d(·, ·) 定义为 d(x, y) = (∑∞ k=1 |xk − yk| p )1/p , ∀x = (x1, x2, · · ·), y = (y1, y2, · · ·) ∈ ℓ p . 例 令 ℓ∞ = { x = (x1, x2, · · · , xn, · · ·) supj∈N |xj | < ∞ } . 则 (ℓ∞, d(·, ·)) 是 度量空间, 其中 d(·, ·) 定义为 d(x, y) = sup j∈N |xj − yj |, ∀x = (x1, x2, · · ·), y = (y1, y2, · · ·) ∈ ℓ ∞. 泛函分析 September 7, 2021 8 / 54
例 设Ca,为[a,上所有连续函数的集合.在Ca,上定义度量 d(,):Ca,×Ca,→0，+o)如下： d(5g)=naxIf(-g(l,廿5g∈Ca, (5) a≤r≤b 则(Ca,,d(,)是度量空间. 例 设C(a,)为[a,上所有连续函数的集合.在Ca,上定义度量 d(,):C([a,)×C([a,)→0，+oo)如下 1/2 dg=(-gPa）,5g∈ca. (6) 则(C([a,),d(,)是度量空间. 泛函分析 September 7,2021 9/54
例 设 C[a, b] 为 [a, b] 上所有连续函数的集合. 在 C[a, b] 上定义度量 d(·, ·) : C[a, b] × C[a, b] → [0, +∞) 如下: d(f, g) = max a≤x≤b |f(x) − g(x)|, ∀ f, g ∈ C[a, b] (5) 则 (C[a, b], d(·, ·)) 是度量空间. 例 设 C([a, b]) 为 [a, b] 上所有连续函数的集合. 在 C[a, b] 上定义度量 d(·, ·) : C([a, b]) × C([a, b]) → [0, +∞) 如下: d(f, g) = (∫ b a |f(x) − g(x)| 2 dx)1/2 , ∀ f, g ∈ C([a, b]). (6) 则 (C([a, b]), d(·, ·)) 是度量空间. 泛函分析 September 7, 2021 9 / 54
例 记(a,b)(p≥1)为定义在(a,)上的所有满足 Pd<oo的 Lebesgue可积函数的集合.定义LP(a,)上度量如下： dg=('a-gPaP,5g∈Pa) 则(L(a,b),d(,)是度量空间 例 记m()为R中Lebesgue可测集的Lebesgue测度.设L(a,b)为定 义在(a,b)上的所有满足 esssuP(a,bl代训≌infE=o{sup(a,b外E儿l<oo的Lebesgue可积函数 的集合.定义L∞(a,b)上度量如下： d(f.g)esssup(a.b)lf()-g()l,fg L(a,b) 则(L2(a,b),d(,)》是度量空间. 泛函份析 September 7,2021 10/54
例 记 L p (a, b) (p ≥ 1) 为定义在 (a, b) 上的所有满足 ∫ b a |f(x)| p dx < ∞ 的 Lebesgue 可积函数的集合. 定义 L p (a, b) 上度量如下: d(f, g) = ( ∫ b a |f(x) − g(x)| p dx)1/p , f, g ∈ L p (a, b) 则 (L p (a, b), d(·, ·)) 是度量空间. 例 记 m(E) 为 R 中 Lebesgue 可测集的 Lebesgue 测度. 设 L∞(a, b) 为定 义在 (a, b) 上的所有满足 esssup(a,b) |f(x)| ≜ inf|E|=0{sup(a,b)\E}|f(x)| < ∞ 的 Lebesgue 可积函数 的集合. 定义 L∞(a, b) 上度量如下: d(f, g) = esssup(a,b) |f(x) − g(x)|, f, g ∈ L ∞(a, b) 则 (L 2 (a, b), d(·, ·)) 是度量空间. 泛函分析 September 7, 2021 10 / 54