10 z13anb 注:也可以利用二项式定理 对M<有(+=其中:()x 严格证明Tn(x)就是上一节定义的 Legendre函数Pn(x) 这个证明过程稍嫌繁琐,有兴趣的同学可参阅 L C Andrews"Special Functions of Mathematics for Engineers 或:吴崇试《数学物理方法》 Q递推关系 先导出展开系数Pn(x)的递推关系。 先导出不含导数的递推关系, Taylor展开式(1.5)两边同时对t求偏导,得 w(r, n) dw(x, n) =NpN(x)r 上式两边同乘以(1+2-21x)得 =(1+2-21)2nP)r (1+p-21x)y =(-0∑=-1+2-21)∑r- 整理:(注:这里为写成一个式子,隐含了P-(x)=0。) xPnx)-Pa-1(x]r=)In+1)Pn(x)+(n-1)Pn-1(x)-2xnPx)lr 方程两边P的系数相等: (2n+1)xP2()=(n+1)Pn1(x)+nP1(x)常用于从Pn-1与P求P 展开式(15:1(+P-2()2=甲(r两边同时对x求偏导,得 P"(x)P,令t=0,得:(x) (1+p2-2tx)y 联 dw(x, t 上两式相除得:(x-0)P()r=t)nPx)r1 整理:(注:这里为写成一个式子,隐含了P1(x)=0。) npn(x)=>IxP(x)-Pn-i(x)]m 方程两边P的系数相等: npn(x)=xpn(x)-pn-I(x) 以上两个递推关系来自生成函数展开式分别对x和t求偏导,容易想到。 接着,还需要或者能导出一些什么递推关系呢? 递推关系(16)用于从P1与Pn求Pm1,(1.7)可用于求P:xP=nPn+P1注：也可以利用 二项式定理 对 t < 1, 有：(1 + t)r =  k=0 ∞  r k  t k, 其中： r k  = (r)k k ! 严格证明 n(x) 就是上一节定义的 Legendre 函数 Pn(x)。 这个证明过程稍嫌繁琐 ，有兴趣的同学可参阅 ： L C Andrews "Special Functions of Mathematics for Engineers" 或：吴崇试 《数学物理方法 》  递推关系 先导出展开系数 n(x) 的递推关系。 先导出不含导数的递推关系，Taylor展开式 (1.5) 两边同时对 t 求偏导，得 w(x, t) = 1 1 + t 2 - 2 t x 1/2 =  n=0 ∞ n(x) t n ⟹ ∂ w(x, t) ∂ t = x - t 1 + t 2 - 2 t x 3/2 =  n=0 ∞ n n(x) t n-1, 上式两边同乘以 1 + t 2 - 2 t x 得 x - t 1 + t 2 - 2 t x 1/2 = 1 + t 2 - 2 t x n=0 ∞ n n(x) t n-1 ⟹ (x - t) n=0 ∞ n(x) t n = 1 + t 2 - 2 t x n=0 ∞ n n(x) t n-1 整理：（注：这里为写成一个式子 ，隐含了-1(x) = 0 。）  n=0 ∞ [x n(x) - n-1(x)] t n =  n=0 ∞ [(n + 1) n+1(x) + (n - 1) n-1(x) - 2 x n n(x)] t n 方程两边 t n 的系数相等 ： (2 n + 1) x n (x) = (n + 1) n+1 (x) + n n-1 (x) 常用于从 n-1 与 n 求 n+1 (1.6) Taylor展开式 (1. 5) ：1 + t 2 - 2 t x -1/2 =  n=0 ∞ n(x) t n 两边同时对 x 求偏导，得 ∂ w(x, t) ∂ x = t 1 + t 2 - 2 t x 3/2 =  n=0 ∞ n ′ (x) t n, 令 t = 0, 得： 0 ′ (x) = 0 联立： ∂ w(x, t) ∂ t = x - t 1 + t 2 - 2 t x 3/2 =  n=0 ∞ n n(x) t n-1 上两式相除得 ：(x - t) n=0 ∞ n ′ (x) t n = t n=0 ∞ n n(x) t n-1 整理：（注：这里为写成一个式子 ，隐含了-1 ′ (x) = 0 。）  n=0 ∞ n n(x) t n =  n=0 ∞ [ x n ′ (x) - n-1 ′ (x)] t n 方程两边 t n 的系数相等 ： n n(x) = x n ′ (x) - n-1 ′ (x) (1.7) 以上两个递推关系来自生成函数展开式分别对 x 和 t 求偏导，容易想到。 接着，还需要或者能导出一些什么递推关系呢？ 递推关系 (1.6) 用于从 n-1 与 n 求 n+1， (1.7) 可用于求 n ′ ：x n ′ = n n + n-1 ′ 10 z13a.nb