13a. nb d.在x=-1,P1(x)对数发散 另外,这个方程的两个指标是重根,另一个线性无关解必定在x=1以对数形式发散 以下番 Mathematica代码验证上述结论:a与b Clear [n, v, x, Pn, Pv] (2n-2r)! x1-2,{x,0,E1oor (n-x)!(n-2r) 1 Gamma [v+k+1 Pv[v,x]:= Sum (k !)<Gamma n=10 tl Simplify [Pn [n, x]] t2 Simplify [Pv[v, x]] Simplify [tl-t2] 132 Legendre多项式的生成函数及递推关系 实际上,最早研究 Legendre多项式的出发点并不是微分方程 而是源于1785年 Legendre对天体相互作用势能的研究 这些研究导致后来在电磁、引力场的所谓多极展开概念 如图,要计算位于P点的质量元在Q点的引力势能 显然,势能可表为:kk k为常数因子 由余弦定理:PQ=c=ya2+b2-2 a bcos6 从而 通常,天体之间的距离远大于天体本身的尺寸, 即:ab,V=k(1+-21os)-1n,其中:t=日<1 为计算方便,希望势能卩可以展开为t=a的级数形式。 令:x=cos6,则:V=(1+p2-2nx2 gendre对函数r(x,0=(1+P-21x)10进行 Taylor)展开, 发现展开系数是x的多项式,具有许多有趣的性质 以下我们对函数w(x,D进行 Taylor,展开 因为函数m(x,n=(1+P-21x)在t=0解析,故可做Tay展开,表为t的幂级数 本节将利用常微分方程的知识证明展开系数:Pn(x)=P(x)— Legendre多项式d. 在 x = -1，Pv(x) 对数发散 另外，这个方程的两个 指标是重根，另一个线性无关解必定在 x = 1 以对数形式发散 。 以下  Mathematica 代码验证上述结论：a 与 b。 Clear[n, v, x, Pn, Pv]; Pn[n_, x_] := 1 2n Sum (-1)r r! (2 n - 2 r)! (n - r)! (n - 2 r)! xn-2 r, r, 0, Floor n 2  Pv[v_, x_] := Sum 1 (k!)2 Gamma[v + k + 1] Gamma[v - k + 1] x - 1 2 k , {k, 0, ∞} n = 10; v = n; t1 = Simplify[Pn[n, x]]; t2 = Simplify[Pv[v, x]]; Simplify[t1 - t2] 0 13.2 Legendre 多项式的生成函数及递推关系 实际上，最早研究 Legendre 多项式的出发点并不是微分方程， 而是源于1785年 Legendre 对天体相互作用势能的研究。 这些研究导致后来在电磁、引力场的所谓多极展开概念。 如图，要计算位于 P 点的质量元在 Q 点的引力势能 。 显然，势能可表为 ：V = k PQ = k c ，k 为常数因子 。 由余弦定理 ：PQ = c = a2 + b2 - 2 a b cos θ 从而：V = k a2 + b2 - 2 a b cos θ Q c b θ a P 通常，天体之间的距离远大于天体本身的尺寸， 即：a ≪ b，V = k b 1 + t2 - 2 t cos θ -1/2 , 其中： t = a b ≪ 1， 为计算方便，希望势能 V 可以展开为 t = a b 的级数形式。 令：x = cos θ, 则：V = k b 1 + t 2 - 2 t x -1/2 = k b w(x, t) Legendre对函数 w(x, t) = 1 + t 2 - 2 t x -1/2 进行Taylor展开， 发现展开系数是 x 的多项式，具有许多有趣的性质。 以下我们对函数 w(x, t) 进行Taylor展开。 因为函数 w(x, t) = 1 + t 2 - 2 t x -1/2 在 t = 0 解析，故可做Taylor展开，表为 t 的幂级数 w(x, t) = 1 + t 2 - 2 t x -1/2 =  n=0 ∞ n(x) t n, (1.5) 本节将利用常微分方程的知识证明展开系数：n(x) = Pn(x) —— Legendre 多项式。 z13a.nb 9