2)当y退化为偶数或奇数时,y分别退化为y与y 把两个发散函数线性组合出一个有限函数,正是物理上常用的手段 看y(x)在x=±1时的发散行为:y(x)=co (2k)! k 1-x2k 得:x→±1时,yo(x)~ln 再看y1(x)在x=±1时的发散行为:y1(x)=c1 +11x2 y(±1)=±c1)ak 3 得:x→±1时,y(x)~ln 所以,1与y在x=1的发散行为,是可以通过线性组合消去的 当然,这里只能消去x=1或x=-1的发散,构造在x=1或x=-1的有限的解 若要在x=±1都收敛的解,只能是整数 在x=1点的邻域求解 数学上,当然另有做法:在x=1邻域求解 Legendre方程: d x2)+m(+1)y=0,T为常数 注意:z=1是该微分方程的正则奇点而不是常点。 根据 Frobenius and Fuchs定理,方程至少有一个以下形式的解 y(x)=(x-1))c(x-1) 按照标准做法,先求指标p,再求系数ck间的关系,可得到一个解为 r(v+k+1) P,(r) 台(k!2r(-k+ 这个解在x=1是收敛的,满足:P(1)=1,并且 a.当v为偶数时,P,(x)退化为yx),v次 Legendre多项式(仅含偶次幂) b.当v为奇数时,P4(x)退化为y(x),v次 Legendre多项式(仅含奇次幂) c.对一般的v值,P(x)称为第一类 Legendre函数,不再是多项式1) y2(1) = 1 有限； 2) 当 v 退化为偶数或奇数时 ，y2 分别退化为 y0 与 y1 把两个发散函数线性组合出一个有限函数 ，正是物理上常用的手段 。 看 y0(x) 在 x = ±1 时的发散行为 ：y0(x) = c0  k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k y0(±1) = c0  k=0 ∞ ak ak = 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k ⟹ ak ak+1 ∼ k + 1 k + o 1 k2 ⟹ ak ∼ 1 k 比较：ln 1 1 - x2 =  k=0 ∞ 1 k x2 k 得：x  ±1 时，y0(x) ∼ ln 1 1 - x2 再看 y1(x) 在 x = ±1 时的发散行为 ： y1(x) = c1  k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1 y1(±1) = ±c1  k=0 ∞ ak ak = 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k ⟹ ak ak+1 ∼ k + 3 2 k + 1 2 + o 1 k2 ⟹ ak ∼ 1 k + 1 2 比较：ln 1 + x 1 - x =  k=0 ∞ 1 k + 1 2 x2 k+1 得：x  ±1 时，y1(x) ∼ ln 1 + x 1 - x 所以，y0 与 y1 在 x = 1 的发散行为 ，是可以通过线性组合消去的 。 当然，这里只能消去 x = 1 或 x = -1 的发散，构造在 x = 1 或 x = -1 的有限的解 。 若要在 x = ±1 都收敛的解 ，l 只能是整数 。 ◼ 在 x = 1 点的邻域求解 数学上，当然另有做法 ：在 x = 1 邻域求解 Legendre 方程：  x 1 - x2 y x + v(v + 1) y = 0 ，v 为常数 注意：z = 1 是该微分方程的 正则奇点而不是常点。 根据 Frobenius and Fuchs 定理，方程至少有一个以下形式的解 y(x) = (x - 1)ρ  k=0 ∞ ck (x - 1)k 按照标准做法 ，先求指标 ρ，再求系数 ck 间的关系 ，可得到一个解为 Pv(x) =  k=0 ∞ 1 (k !)2 Γ(v + k + 1) Γ(v - k + 1) x - 1 2 k 这个解在 x = 1 是收敛的 ，满足：Pv(1) = 1，并且， a. 当 v 为偶数时，Pv(x) 退化为 y0(x)，v 次 Legendre 多项式（仅含偶次幂） b. 当 v 为奇数时，Pv(x) 退化为 y1(x)，v 次 Legendre 多项式（仅含奇次幂） c. 对一般的 v 值，Pv(x) 称为第一类 Legendre 函数，不再是多项式 8 z13a.nb