第三章向量值函数与空间曲线 例2证明:空间曲线为直线的充要条件是曲率k(s)=0 证:必要性:设直红方程为r()=se+b(其中e,b为常向量) 故尸=e”=0.即k(S)=际s)=0 充分性:若k=r"S=0则由r"(s)=0解得f()=se+b为直线。 一般参数t表示的曲线(r=r(t)的曲率表示式。 r(s=r(Or(s) 由 F"(s)=r")((s)2+r(t)r 而(s)=(s=1,及(s)P(s)=0 k(s)=|(s)=际(s)x(s 所以=F((s)×(F"(r(s)2+F('( =((s)(P(1)×F"(t) 因此a ds|df‖ds|dlF dd→a=//→r(s)= k(s) ()xF"() 2.3.2挠率 空间曲线除了有“弯曲”的概念外,还有一个“挠扭”的概念,“弯曲”是 相对于“直”而言的,而“挠扭”是相对于“平”而言的,位于一个平面上的曲 线称为平面曲线,它是不“挠扭”的,所以,我们称非平面曲线为挠曲线。 挠曲线上点s+As将偏离s处的密切平面,或者说曲线上点s和s+As处的 密切平面是不同的。显然这种偏离也有程度上的差异,例如,一条弹簧,在压得 很紧的时候,它的每一圈都接近于(或者就是)平面曲线,曲线上点s+△s偏离 s处的密切平面较小;放开时,曲线上点s+△s偏离s处的密切平面程度就会就 大 我们将用密切平面的变化率,即密切平面的法向量(即曲线的从法向量) B(s)的变化率来描述这种偏离程度,从而导出曲线论中的另一个重要的几何概 念:挠率 在弗雷耐标架((s)N(B(s)}中 B()7(s)=0 对上式两边求导,得B'(s)7(s)+B(s)·T(s)=0 将T'(s)=k(s)N(s)和B(s)·N(s)=0,代入得 B′( 又由B(s)·B(s)=0可知B(s)同时垂直于7(s)和B(s) 第三章向量值函数与空间曲线第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 3 例 2 证明：空间曲线为直线的充要条件是曲率 k(s)0。 证：必要性：设直红方程为 r(s) s e b    = + （其中 e b   , 为常向量） 故 r  = e,r  = 0,   即 k(s) = r (s)  0  充分性：若 k = r(s)  0 则由 r(s) = 0 解得 r(s) s e b    = + 为直线。 ⚫ 一般参数 t 表示的曲线(r=r(t))的曲率表示式。 由 ( ) ( )( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r s r t t s r t t s r t r t r s r t t s  =   +      =   =        而 r (s) = T(s) = 1   ,及 r (s)r (s) = 0   所以 ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( )( ( )) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 t s r t r t r t t s r t t s r t t s k s r s r s r s =     =      +   =  =            因此 ( ) r (t) t s dt dr dt ds dt dr dt ds  =  =   =    1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) r t r t r t k s     =    2.3.2 挠率 空间曲线除了有“弯曲”的概念外，还有一个“挠扭”的概念，“弯曲”是 相对于“直”而言的，而“挠扭”是相对于“平”而言的，位于一个平面上的曲 线称为平面曲线，它是不“挠扭”的，所以，我们称非平面曲线为挠曲线。 挠曲线上点 s+s 将偏离 s 处的密切平面，或者说曲线上点 s 和 s＋s 处的 密切平面是不同的。显然这种偏离也有程度上的差异，例如，一条弹簧，在压得 很紧的时候，它的每一圈都接近于（或者就是）平面曲线，曲线上点 s+s 偏离 s 处的密切平面较小；放开时，曲线上点 s+s 偏离 s 处的密切平面程度就会就 大。 我们将用密切平面的变化率，即 密切平面的法向量（即曲线的从法向量） B(s)  的变化率来描述这种偏离程度，从而导出曲线论中的另一个重要的几何概 念：挠率。 在弗雷耐标架 r(s);T(s), N(s), B(s)     中， B(s)T(s) = 0   ， 对上式两边求导，得 B(s)T(s) + B(s)T (s) = 0     将 T (s) k(s) N(s)    = 和 B(s) N(s) = 0   ，代入得 B(s)T(s) = 0   又由 B(s) B(s) = 0   可知 B (s)   同时垂直于 T (s)  和 B(s) 