第三章向量值函数与空间曲线 从而B()平行于N(s),即 其中τ(s)是数值函数,前面的负号是为了方便添加的。于是, B(s)={(s(s)=B(s)N(s) 所以,我们对曲线的挠率给出如下的定义。 定义2.3我们称函数r(s)=-B(s)N(s)为曲线r(s)在点S处的挠率 由于 (s)=1B= 其中△o表示B()和B(s+△s)间的夹角,即两相邻点的密切平面的夹角。所以, 挠率的绝对值为曲线在该点的密切平面的法向量的倾角对其弧长的变化率,或曲 线在该点“偏离”相应的密切平面的程度,这就是挠率的几何意义 例3证明:由线r(s)是平面曲线的充要条件是其挠率恒为零。 证必要性是显然的,因为曲线上任一点处的密切平面都是r(s)所处的平 面,即B(s)方向不随s变化,是一个常向量,故有 B (sI 充分性:已知对任意s有τ(s)≡0即B(s)≡0,即从法线向量 B(s)=B(常向量), 因为 T(s)·B=0, 故 (r(s)·B0)′=r'(s)B。=T(s)·B≡0 从而 (r(s)·B0)=q(常数),或(r(s)-r(O)·B0=0 即曲线上任一点r(s)均位于过r(0),以B为法向量的平面上 例4求圆柱螺线的曲率和挠率,其中ab常数,且a>b0=-1 +b 解由[‖=1,知s为自然参数,所以 T(s=r(s)=(a@sin @s, ao cos os, bo) T(s)=r(s=(a@ cos s, -a@ sin as, 0) T'(S) (cos @s, -sin @s, 0) B(s)=T(s)xN(s)=o(bsin as, -b cos os, a) B(s=bo(cos os, sin @, 0)=-bo-N(s) 因此曲率k(s)=T(s=ao b:挠率 2b +b 由此可见,一条圆柱螺线的曲率和挠率均为常数 第三章向量值函数与空间曲线第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 4 从而 B (s)   平行于 N(s)  , 即 B (s) (s)N(s)    = − 其中 (s) 是数值函数，前面的负号是为了方便添加的。于是， B (s) (s), (s) B (s) N(s)     =   = −   所以，我们对曲线的挠率给出如下的定义。 定义 2.3 我们称函数 (s) B (s) N(s)    = −   为曲线 r(s)在点 s 处的挠率 由于 s s B s s   =  =  →   0 ( ) ( ) lim  其中表示 B(s)  和 B(s + s)  间的夹角，即两相邻点的密切平面的夹角。所以， 挠率的绝对值为曲线在该点的密切平面的法向量的倾角对其弧长的变化率，或曲 线在该点“偏离”相应的密切平面的程度，这就是挠率的几何意义。 例 3 证明：由线 r(s)是平面曲线的充要条件是其挠率恒为零。 证 必要性是显然的，因为曲线上任一点处的密切平面都是 r(s)所处的平 面，即 B(s)方向不随 s 变化，是一个常向量，故有 (s) = B(s) = 0。 充分性：已知对任意 s 有 (s)  0 即 B(s)  0 ，即从法线向量 B(s)=B0（常向量）， 因为 T(s)·B00, 故 (r(s)B0 ) = r(s)B0 = T(s)B0  0 , 从而 (r(s)B0 ) = q （常数），或 (r(s) − r(0)B0 = 0 即曲线上任一点 r(s)均位于过 r(0)，以 B0为法向量的平面上。 例 4 求圆柱螺线的曲率和挠率，其中 a,b 常数，且 a b a b  = + , 1 2 2 。 解 由 dr ds = 1,知 s 为自然参数，所以， ( ) (cos ,sin ,0) ( ). ( ) ( ) ( ) ( sin , cos , ) , ( cos , sin ,0) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( cos , sin ,0) , ( ) ( ) ( sin , cos , ) , 2 2 2 2 B s b s b N s B s T s N s b s b s a s s T s T s N s T s r s a s a s T s r s a s a s b T T T T T                                = = − =  = − = − −   =  =  = − − =  = − 因此曲率 k s T s a a a b ( ) = ( ) = = +  2 2 2 ; 挠率  =  = + 2 2 2 b b a b 。 由此可见，一条圆柱螺线的曲率和挠率均为常数