第三章向量值函数与空间曲线 按照定义,曲率k(s)总是正,在(a>0),而挠率τs)却带有正号或负号 当b>0时,τ>0b<0时,τ<0,也就是说,螺线是右手螺旋时,挠率取正 值,左手螺旋时,挠率取负值。 从曲率和挠率的角度来观察一条挠曲线时,最简单的挠曲线是圆柱螺线,如 同圆是最简单的平面曲线一样。 用f(5)高阶阶导数计算挠率τ的公式: (()≈((s)产(sF(s) 证明:由F(s)=k(s)N(s),于是, (r.B)=-((kN).B)=-((kN. B)-(kN.B)) N -(N·B)= 其中N⊥B→kN.B=0 当曲线用一般参数t表示产=P()时,挠率r的计算公式 r(s=r(t ds 因为P(=o(a)+r 产()=F%0)d 3厂 Ir"(s=k F()×F" dtl‖dsdt dt 代入挠率公式r=((sf(s)(S式,即得挠率在一般参数t下的计算公式 G(),F"(t)F"(t) G"()×F"V) 由此可知 r=0分(F(s)产"s)产"s)=0分(F()"(t);"()=0 它们都是平面曲线的充要条件。 例5求三次参数曲线f()=(31-1312,3+12) 的弗雷耐标架乒,N,及k和τ。 F()=3(1-12,2,1+t) 解r"t)=6(-t1,t), "(t)=6-10,1) 第三章向量值函数与空间曲线第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 5 按照定义，曲率 k(s)总是正, 在(a>0)，而挠率 (s) 却带有正号或负号： 当 b>0 时，   0;b  0 时，   0 ，也就是说，螺线是右手螺旋时，挠率取正 值，左手螺旋时，挠率取负值。 从曲率和挠率的角度来观察一条挠曲线时，最简单的挠曲线是圆柱螺线，如 同圆是最简单的平面曲线一样。 ⚫ 用 r(s)  高阶阶导数计算挠率 的公式： ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) 2 , , ( ) 1 r s r s r s r s r s B s k            =   = 证明： 由 r (s) k(s)N(s)    = ，于是， ( ) . (( ) ( )) 1 (( ) ) 1 ( ) 1 = −   =    =   =   −   N B kN B kN B k kN B k r B k           其中 N ⊥ B  kN  B = 0     . ⚫ 当曲线用一般参数 t 表示 r r(t)   = 时，挠率  的计算公式: 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) , , , 3 3 2 2 3 2 2 2 ds d t ds d t ds dt r t ds dt r s r t ds d t r t ds dt r s r t ds dt r s r t  +   +       =   +        =   =          ( ) ( ) ( ) ( ) 3 r t r t r t r s k      = =     dt ds dt ds T dt ds ds d r dt d r =  =  =    代入挠率公式 ( ( ) ( ) ( )) ( ) 2 , , r s r s r s r s          = 式，即得挠率在一般参数 t 下的计算公式 ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 , , r t r t r t r t r t t       =       由此可知 = 0  (r (s),r (s),r (s)) = 0  (r (t),r (t),r (t)) = 0          。 它们都是平面曲线的充要条件。 例 5 求三次参数曲线 ( ) (3 ,3 ,3 ) 3 2 3 r t = t − t t t + t  的弗雷耐标架 T N B    , , 及 k 和 。 解 ( ) ( ) r (t) = 6(-1,0,1) , r t = 6(-t,1,t) , 3(1 ,2 , 1+ t ) , T T 2 2    = −    T r t t t