第十一章多元函数微分学 例六,今有一空间曲线 (x,y,=)=0 lG(r,y,=)=0 及一点P(x02y,=0),在此曲线 上找一点P(x,y,=)到P点距离最小 Mm/G)=√x-x)2+(y-y0)+(=-0) t.F(x,y,)=0,G(x,y,)=0 拉格伦日函数: (xy,,4)=√(x-x)2+(-y)+(=-)+ +AF(x,y,=)+G(x,y,) F(x,y,=)+(G(x,y,z) 其中,r=√x-x)+(y-y)2+(=-=0) 求驻点: (x,y,x,,) +1 aF(x, y, 2+ G(x,y,)=0 aL(x,y, =, a, u) aF(x,y, =1+u s).aG(x,y, - 0 ∂(x,y,, 少个F(y2+0(y=2=0, (x,y,2,λ,山)F(x.y,z)=0 OL(x,y,2, 2, 4)=G(x,y, 2)=0 +2 grad F(x,y, )+u grad G(x,y, )=0 或者{F(x,y,=)=0 x,y,2 Fo(PP)=- grad F(x, y, =)-H grad(x,y,= G(P)=0 第十一章多元函数微分学第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 例六，今有一空间曲线 ( )  ( )   = = , , 0 , , 0 G x y z F x y z 及一点 ( ) 0 0 0 0 P x , y ,z ，在此曲线 上找一点 P(x, y,z) 到 P0 点距离最小。 ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( )    = = = − + − + − . . , , 0, , , 0 2 0 2 0 2 0 s t F x y z G x y z Min f x x x y y z z  拉格伦日函数： ( ) = ( − ) + ( − ) + ( − ) + 2 0 2 0 2 0 L x, y,z, x x y y z z +  F(x, y,z)+ G(x, y,z) = r +  F(x, y,z)+ G(x, y,z) 其中， ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 r = x − x + y − y + z − z . 求驻点： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                = =   = =   =   +   + − =   =   +   + − =   =   +   + − =   , , 0 , , , , , , 0 , , , , 0 , , , , , , , , 0 , , , , , , , , 0 , , , , , , , , G x y z L x y z F x y z L x y z x G x y z x F x y z r x x x L x y z x G x y z x F x y z r x x x L x y z x G x y z x F x y z r x x x L x y z i i i                   , 或者 ( ) ( ) ( ) ( )        = = + + = , , 0 , , 0 , , , , 0 G x y z F x y z grad F x y z grad G x y z r r    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      = = = − − 0 0 , , , , 0 0 G P F P r P P  grad F x y z  grad G x y z 