第十一章多元函数微分学 af(x,y, =) (x-x) 求鞋点。{9(y (-y)=0, 0(=2(-y)=0 P y 例五,今有一空间曲面F(x,y,=)=0及一点P(xn,yo,=0),在此曲面 上找一点P(x,y,z)到P点距离最小。 问题 MmfG)=(x-xn)+(y-y0)+(=-) s.t. F(x,y,==0 拉格伦日函数: L(xy,x)=√(x-x0)+(y-y)2+(=-=0)+F(x,y,z r+aFx,y,x 其中,r=√(x-x)+(-x)+(-=0) aL(x, y, 3, 2)x-x aFx,y, 江(x=:)=xx+20F(xy)=0 求驻点: 叫(xy=4)=x-x+x(xy=0 Lx,y=2a=F(x,y,-)=0 +a grad F(x,y, =)=0(PP)=- grad F(x, y,=) F(x,y,z)=0 第十一章多元函数微分学第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 求驻点： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )         = − =   = − =   = − =      = = = 2 0 , , 2 0 , , 2 0 , , 1 1 1 m i i m i i m i i y y z f x y z y y y f x y z x x x f x y z ,     = = = =           =                   = n i i i i n i i n i i n i i z y x n z n y n x n P 1 1 1 1 1 1 1 1 例五，今有一空间曲面 F(x, y,z) = 0 及一点 ( ) 0 0 0 0 P x , y ,z ，在此曲面 上找一点 P(x, y,z) 到 P0 点距离最小。 问题： ( ) ( ) ( ) ( )  ( )    = = − + − + − . . , , 0 2 0 2 0 2 0 s t F x y z Min f x x x y y z z  拉格伦日函数： L(x, y,z, ) (x x ) (y y ) (z z ) F(x, y,z) 2 0 2 0 2  = − 0 + − + − +  = r +  F(x, y,z) 其中， ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 r = x − x + y − y + z − z . 求驻点： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )           = =   =   + − =   =   + − =   =   + − =   , , 0 , , , 0 , , , , , 0 , , , , , 0 , , , , , F x y z L x y z x F x y z r x x x L x y z x F x y z r x x x L x y z x F x y z r x x x L x y z i i i         , 或者 ( )   ( )    = + = , , 0 , , 0 F x y z grad F x y z r r   , ( ) ( )  ( )   = = − 0 , , 0 0 F P r P P  grad F x y z 