第十一章多元函数微分学 af(x,y) a(r,y) OF(x,y) aF(x,y) 将方程变成对称形式: ar(x,y)., aF(, y)_o a((x, y)+2F(x, y)) 0 ax (xy2+x2(x)2=0={(xy)+2y)2 F(x,y)=0 a(x, y)+aF(x, y)) =0 拉格伦日函数 L(x,y,a)=fx,y)+aF(x,y) 问题变成求函数的无条件极限问题:MmL(x,y,2) 求驻点;解方程 a(xl)=9(x,y)+20F(xy)=0 a(yl)29()0F(y)=0 ay aL(x, y, a) F(x,y)=0 问题二: Min f(x,y st.F(x,y,-)=0.G(x,y,-)=0 做函数:L(x,y,,,)=f(x,y,)+F(x,y,x)+G(x,y,z) 求驻点;解方程 aL(x, y,x,a, u)=or(x, 3, )+ aF(x, y, 3+uac a(xx,山)=y(x,)+x2(y2+n(y)=0 o ay ay ay OL(x,y,x,,)可(x,y-),,OF(x,y+Ha÷0 +1 aG(x,y, =) aL(x, y, -, 2, u=F(x,y, 2)=0 (x,y,,,) =G(x,y,z)=0 a 例四,今有m个点P(an,b2c),=1…,m,求一点P(xy,z),到各 点距离平方之和最小。 问题:Mm1()=∑(x-x)+(y-y)+(=-=) 第十一章多元函数微分学第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 ( ) ( ) ( ) ( ) y F x y x f x y x F x y x f x y     =     − = , , , ,  将方程变成对称形式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          = =   +   =   +   , 0 0 , , 0 , , F x y y F x y y f x y x F x y x f x y    ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))          =   + =   + =   + 0 , , 0 , , 0 , ,     f x y F x y x f x y F x y x f x y F x y 拉格伦日函数 L(x, y,) = f (x, y)+  F(x, y), 问题变成求函数的无条件极限问题: Min L(x, y,), 求驻点；解方程； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )         = =   =   +   =   =   +   =   , 0 , , 0 , , , , 0 , , , , F x y L x y y F x y y f x y y L x y x F x y x f x y x L x y       问题二： ( )  ( ) ( )   . . , , = 0; , , = 0 , , s t F x y z G x y z Min f x y z . 做函数： L(x, y,z,,) = f (x, y,z)+ F(x, y,z)+ G(x, y,z) 求驻点；解方程； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                = =   = =   =   +   +   =   =   +   +   =   =   +   +   =   , , 0 , , , , , , 0 , , , , 0 , , , , , , , , , , 0 , , , , , , , , , , 0 , , , , , , , , , , G x y z L x y z F x y z L x y z z G x y z z F x y z z f x y z z L x y x y G x y z y F x y z y f x y z y L x y x x G x y z x F x y z x f x y z x L x y x                   例四，今有 m 个点 ( ) i i i i P a ,b ,c , i = 1,  ,m, 求一点 P(x, y,z) ，到各 点距离平方之和最小。 问题： ( ) (( ) ( ) ( ) ) = = − + − + − m i i i i Min f x x x y y z z 1  2 2 2