m(4)=∑m(1) (1) 由§22引理7,m(A)的值不依赖于A的分解式的选取,因此m在上的值是确定的 引理1由(1)式定义的上的集函数m具有如下性质 (i)m是有限可加的 (i)m是单调的 (i)m是次有限可加的,即若A1,…,Ak∈咒,则 m∪A4 证明设A,…,4是中的k个互不相交的集令A=∪A1,设A的一分解式为 则A=∪∪是A的一个分解式因此有 m(4)=∑∑m(1n)=∑m(4) 故()得证.利用m的有限可加性,类似于921测度的单调性和次可数可加性的证明,可以 证明()和(i)成立■ 定理2由(1)式定义的集函数m是上的测度 证明由§22定理8,只需证明m在C上是可数可加的.设{}是C中的一列互不相交 的集并且I=U1∈C由引理231,对任意k21成立 m(1)=m(U1)≤m( 令k→,即得∑m(1)≤m(D) 下面证明反向不等式任意给定一个E>0.容易知道,存在闭方体JcI和开方体 J1l(≥1)使得 E m()-m()≤E,m()-m(1)≤,i≥154 ( ) ( ). 1 ∑= = k i i m A m I (1) 由§2.2 引理 7, m(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取, 因此m 在R 上的值是确定的. 引理 1 由(1)式定义的R 上的集函数 m 具有如下性质: (i) m 是有限可加的. (ii) m 是单调的. (iii) m 是次有限可加的, 即若 A1 ,", Ak ∈ R, 则 ( ) ( ). 1 1 ∑ = = ≤ k i i k i m ∪Ai m A 证明 设 A Ak , , 1 " 是R 中的 k 个互不相交的集. 令 . ∪ 1 k i A Ai = = 设 Ai 的一分解式为 , 1, , . 1 A I i k mi j i =∪ ij = " = 则 ∪∪ k i m j ij i A I = = 1 1 = 是 A 的一个分解式. 因此有 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑∑ ∑ = = = = = k i i k i m j m A m Iij m A i 故(i) 得证. 利用 m 的有限可加性, 类似于§2.1 测度的单调性和次可数可加性的证明, 可以 证明(ii) 和(iii) 成立.■ 定理 2 由(1)式定义的集函数 m 是R 上的测度. 证明 由§2.2定理8, 只需证明 m 在C 上是可数可加的. 设{ }i I 是C 中的一列互不相交 的集并且 = ∈ ∞ = ∪ i 1 i I I C .由引理 2.3.1, 对任意 k ≥ 1成立 ( ) ( ) ( ). 1 1 m I m I m I k i i k i i = ≤ = = ∑ ∪ 令 k → ∞, 即得 ( ) ( ). 1 m I m I i ∑ i ≤ ∞ = 下面证明反向不等式. 任意给定一个ε > 0 . 容易知道, 存在闭方体 J ⊂ I 和开方体 J ⊃ I (i ≥ 1) i i 使得 m(I) − m(J ) ≤ ε, , 1. 2 m(J ) − m(I ) ≤ i ≥ i i i ε (2)