(以一维情形为例,若Ⅰ=(a,b],11=(a1,b],则取J=[a+E,b,J1=(a1,b+) 于是 JcI=∪l1cUJ 由有限覆盖定理,可以从开方体列中{J}选出有限个也覆盖J.不妨设这有限个方体为 J1,…,Jk.设J和J(1≤i≤k)分别是与J和J有相同端点的左开右闭方体(例如,若 J=a+E,b,J1=(a1,b+),则取J′=(a+E,b,J}=(a1,b+])由于 Jc∪J于是更加有Jc∪J由引理1我们有 m(D2=m()smU)∑m)=m) 因此由(2)得到 m()-E≤m(J)≤∑m()≤∑m(1)+E 由于E>0是任意的,由上式得到m(D)≤∑m(1)综合前面的不等式得到 m(D)=∑m(1) 这就证明了集函数m在C上是可数可加的.由§22定理8,集函数m是界上的测■ Lebesgue可测集与 Lebesgue测度 Lebesgue测度的有关定义: Lebesgue外测度m:由上的测度m导出的外测度 Lebesgue可测集:m可测集 esau 可测集类:(R")(a-代数) Lebesgue测度m:m在(R")上的限制 Lebesgue测度空间:(R",M(R"),m)(完备的,a-有限的 Lebesgue测度和 Lebesgue可测集分别简称为L测度和L可测集 上面我们定义了L可测集和L测度.那么L可测集类究竟有多大?L测度是否就是我们 熟知的长度、面积和体积的推广?下面的两个定理回答了这个问题 定理3每个Borl可测集都是 Lebesgue可测集,即(R")cM(R”)55 (以一维情形为例, 若 I = (a,b], ( , ], i ai bi I = 则取 J = [a + ε ,b] , ) 2 ( , i i ai bi J ε = + ). 于是 . 1 1 ∪ ∪ ∞ = ∞ = ⊂ = ⊂ i i i i J I I J 由有限覆盖定理, 可以从开方体列中{ }i J 选出有限个也覆盖 J. 不妨设这有限个方体为 , , . 1 k J " J 设 J ′ 和 J (1 i k) i ′ ≤ ≤ 分别是与 J 和 i J ′ 有相同端点的左开右闭方体 (例如, 若 J = [a + ε ,b], ) 2 ( , i i ai bi J ε = + , 则 取 J ′ = (a + ε,b] , ] 2 ( , i i ai bi J ε ′ = + ). 由 于 . 1 ∪ k i i J J = ⊂ 于是更加有 . 1 ∪ k i i J J = ′ ⊂ ′ 由引理 1 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ = = = = ′ ≤ ′ ≤ ′ = k i i k i i k i i m J m J m ∪J m J m J 因此由(2)得到 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 − ε ≤ ≤ ∑ ≤ ∑ + ε ∞ = i= i k i i m I m J m J m I 由于ε > 0是任意的, 由上式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ≤ i i m I m I 综合前面的不等式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = i i m I m I 这就证明了集函数m 在C 上是可数可加的. 由§2.2 定理 8, 集函数m 是R 上的测.■ Lebesgue 可测集与 Lebesgue 测度 Lebesgue 测度的有关定义: Lebesgue 外测度 ∗ m : 由R 上的测度 m 导出的外测度. Lebesgue 可测集: ∗ m -可测集. Lebesgue 可测集类: ( ) n M R (σ -代数). Lebesgue 测度 m : ∗ m 在 ( ) n M R 上的限制. Lebesgue 测度空间: ( , ( ), m) n n R M R (完备的, σ -有限的). Lebesgue 测度和 Lebesgue 可测集分别简称为 L 测度和 L 可测集. 上面我们定义了 L 可测集和 L 测度. 那么 L 可测集类究竟有多大? L 测度是否就是我们 熟知的长度、面积和体积的推广? 下面的两个定理回答了这个问题. 定理 3 每个 Borel 可测集都是 Lebesgue 可测集, 即 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R