证明设界是上面所定义的环.容易证明σ()=B(R").由§22定理5知道 (R)c3(R").因此(R”)∈(R"),即每个 Borel可测集都是 Lebesgue可测集.定 理证毕 定理3表明 Lebesgue可测集类包含了足够多的集.特别是一些常见的集都是L可测集 尽管如此,R”中仍然存在子集不是L可测的这样的集称为 Lebesgue不可测集.在本节的 最后我们将给出一个 Lebesgue不可测集的例子.在§3.1例6中我们将证明,在R”中存在 子集是 Lebesgue可测集但不是 Borel集,即M(R")严格包含(R") 由定理3知道,R中的有限集,可数集和各种方体都是L可测集.现在来计算它们的 测度 定理4R”中有限集和可数集的 Lebesgue测度为零,方体的 Lebesgue测度等于该方体 的体积 证明首先注意到,若Ⅰ是R”中的一个有界的左开右闭方体,则由L测度的定义有 m()=|现在设是R"中的任意一个有界方体容易知道对任意E>0,存在左开右闭 方体l1和I2,使得l1CIcl2,并且 川-1|<E,|2|-|<E (参见本章习题第16题)由测度的单调性我们有 1-Es|=m(1)≤m()≤m(12)=|l2|<|/+ 由E>0的任意性即得m()=7再考虑/是无界方体的情形.设/=1x…×ln,其中 1,…,In是直线上的区间并且至少有一个是无界的.容易知道对每个i=1,…,n,在L中 存在一列单调增加的有界闭区间{k2,使得∪Jk=1并且 L limia=|令 Jn,k≥1 则{}是一列单调增加的有界闭方体使得/=∪J,并且 im=lml…{nA=1…n=1 由于J是有界方体,由上面己证的结果有m(J)=4于是由测度的下连续性我们有 m(I)=limm(J,)=lim/Jx=7I 因此任何方体的L测度等于该方体的体积.由于单点集{a}可看成是方体,即 l}=[a,a]×…x[a,a],因此56 证明 设 R 是上面所定义的环. 容易证明 σ (R ) = ( ). n B R 由§2.2 定理.5 知道 σ (R ) ⊂ ( ) n M R . 因此 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R , 即每个Borel可测集都是Lebesgue可测集. 定 理证毕. 定理.3 表明Lebesgue 可测集类包含了足够多的集. 特别是一些常见的集都是 L 可测集. 尽管如此, n R 中仍然存在子集不是 L 可测的. 这样的集称为 Lebesgue 不可测集. 在本节的 最后我们将给出一个 Lebesgue 不可测集的例子. 在§3.1 例 6 中我们将证明, 在 n R 中存在 子集是 Lebesgue 可测集但不是 Borel 集, 即 ( ) n M R 严格包含 ( ) n B R . 由定理 3 知道, n R 中的有限集, 可数集和各种方体都是 L 可测集. 现在来计算它们的 L 测度. 定理 4 n R 中有限集和可数集的 Lebesgue 测度为零, 方体的 Lebesgue 测度等于该方体 的体积. 证明 首先注意到, 若 I 是 n R 中的一个有界的左开右闭方体, 则由 L 测度的定义有 m(I) = I . 现在设 I 是 n R 中的任意一个有界方体. 容易知道对任意ε > 0 , 存在左开右闭 方体 1 2 I 和I , 使得 , 1 2 I ⊂ I ⊂ I 并且 , . 1 2 I − I < ε I − I < ε (参见本章习题第 16 题)由测度的单调性我们有 ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 2 I − ε ≤ I = m I ≤ m I ≤ m I = I < I + ε 由ε > 0 的任意性即得 m(I) = I . 再考虑 I 是无界方体的情形. 设 , 1 n I = I ×"× I 其中 n I , ,I 1 " 是直线上的区间并且至少有一个是无界的. 容易知道对每个i = 1,",n, 在 i I 中 存在一列单调增加的有界闭区间 , 1 { } i k k≥ J , 使得 i k i k J = I ∞ = ∪ 1 , 并且 lim . i,k i k J = I →∞ 令 , k 1,k n,k J = J ×"× J k ≥ 1. 则{ }k J 是一列单调增加的有界闭方体使得 , 1 ∪ ∞ = = k k I J 并且 lim lim . 1, , 1 J J J I I I k n k n k k k = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = →∞ →∞ " " 由于 k J 是有界方体, 由上面已证的结果有 ( ) . k k m J = J 于是由测度的下连续性我们有 m(I) lim m(J ) lim J I . k k k k = = = →∞ →∞ 因此任何方体的 L 测度等于该方体的体积 . 由于单点集 {a} 可看成是方体 , 即 {a} = [a,a]×"×[a,a], 因此