m({a})=[aal×… x[a,a]=0 再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的L测度为零 由定理4知道, Lebesgue测度确实是区间的长度,矩形的面积和方体的体积概念的推 广,而且它能对R"中的更多的子集给予一种类似于体积的度量 例1由于直线上有理数集是可数集,由定理4知道,直线上有理数集的L测度等于零 又实数集R的一维L测度m(R)=R|=+0.但R作为R2的子集,其二维L测度 m(R)=m(R×(0)=|R×{=+∞0=0 这里顺便指出证明区间[0,1不是可数集的另一方法由定理4,可数集的L测度为零 但m([0,1)=1,因此[0,]不是可数集 例2设K是 Cantor集在§1.4中构造 Cantor集时,从[O,1]中去掉的那些开区间的并记 为G.我们已经知道这些区间长度之和为1,即m(G)=1.由于K=[0,]-G,因此 m(K)=m([O,)-m(G)=1-1=0 我们知道K不是可数集(其基数为c),这个例子表明一个不可数集的L测度也可能为零 设A是R"的子集,是上面所定义的环.则由L外测度的定义有 m(4)=mf2m(4):{4}是中的集列并且A∈U4 下面给出 Lebesgue外测度的另一种表示方法 定理5设A是R"的子集.则 m(4)=m∑是一列有界开区间并且AcU 证明设A是R”的子集.若m(4)=+∞,则(4)显然成立.现在设m(4)<+∞.则 由(3)知道,对任意E>0,存在R中的一列集{}使得Ac∪A并且 ∑m(A,)<m'(4)+E 由于每个A1都可以表为有限个左开右闭方体的并,故不妨设每个A都是左开右闭方体容 易知道对每个,存在开方体1,使得Ac1并且-4|<5,由于AcU,利用5) 得到57 m({a}) = [a, a]×"×[a, a] = 0. 再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的 L 测度为零. ■ 由定理 4 知道, Lebesgue 测度确实是区间的长度, 矩形的面积和方体的体积概念的推 广, 而且它能对 n R 中的更多的子集给予一种类似于体积的度量. 例 1 由于直线上有理数集是可数集, 由定理 4 知道, 直线上有理数集的 L 测度等于零. 又实数集 1 R 的一维 L 测度 ) . 1 1 m(R = R = +∞ 但 1 R 作为 2 R 的子集, 其二维 L 测度 ( ) ( {0}) {0} 0 0. 1 1 1 m R = m R × = R × = +∞ ⋅ = 这里顺便指出证明区间[0,1]不是可数集的另一方法. 由定理 4, 可数集的 L 测度为零. 但m([0,1]) = 1, 因此[0,1]不是可数集. 例 2 设 K 是 Cantor 集. 在§1.4 中构造Cantor 集时, 从[0,1]中去掉的那些开区间的并记 为G. 我们已经知道这些区间长度之和为 1, 即m(G) = 1. 由于 K =[0,1] − G, 因此 m(K) = m([0,1]) − m(G) = 1−1 = 0. 我们知道 K 不是可数集(其基数为c ), 这个例子表明一个不可数集的 L 测度也可能为零. 设 A 是 n R 的子集, R 是上面所定义的环. 则由 L 外测度的定义有       = ∑ ⊂ ∞ = ∞ = ∗ 1 1 ( ) inf ( ) :{ } , i i m A m Ai Ai 是R 中的集列 并且A ∪Ai . (3) 下面给出 Lebesgue 外测度的另一种表示方法. 定理 5 设 A 是 n R 的子集. 则       = ⊂ ∞ = ∞ = ∗ ∑ ∪ 1 1 ( ) inf :{ } , i i i i i m A I I 是一列有界开区间 并且A I . (4) 证明 设 A 是 n R 的子集. 若 ( ) = +∞, ∗ m A 则(4)显然成立. 现在设 ( ) < +∞. ∗ m A 则 由(3)知道, 对任意ε > 0, 存在R 中的一列集{ } Ai 使得 ∪ ∞ = ⊂ i 1 A Ai 并且 ( ) ( ) . 1 < + ε ∗ ∞ = ∑m A m A i i (5) 由于每个 Ai 都可以表为有限个左开右闭方体的并, 故不妨设每个 Ai 都是左开右闭方体. 容 易知道对每个i , 存在开方体 i I 使得 i i A ⊂ I 并且 . 2i i Ai I ε − < 由于 , 1 ∪ ∞ = ⊂ i i A I 利用(5) 得到