m(4)≤∑m(1)=∑s∑A|+6≤m(4)+26 在上式里对A的所有有界开方体的覆盖取下确界得到 m(4)≤m∑是一列有界开区间并且AcU1}≤m()+26 由于E>0是任意的,故(2)成立■ L可测集与L测度的逼近我们知道G型集和F型集都是 Borel集,当然也是L可 测集.下面我们进一步考察L可测集的构造 定理6设A为R中的L可测集.则 (i)对任意E>0,存在开集GA,使得m(G-A)<E (i).对任意E>0,存在闭集FcA,使得m(A-F)<E.若 m(A)<+∞,则F可以取为是有界闭集 (i)l在G。型集G→A,使得m(G-A)=0 (iv)存在F型集FcA,使得m(A-F)=0 证明(i)先设m(A)<+∞.由定理5,存在一列覆盖A开方体{ln}使得 ∑|卩n<m(4) 令G=U1n,则G为开集,G二A并且 m(G)s∑m(1n)=∑|n<m(A)+6 于是得到 mG-A)=m(G)-m(a)<a 现在设m(4)=+0设{E}一列互不相交的L可测集,使得m(E)<+并且R"=UE 令A=A∩E1,121.则m(A)<+∞并且A=UA,.由上面所证的结果,对每个,存在 开集GA,使得mG-4)<5,令G=UG,则G是开集,GA由于58 ( ) ( ) ( ) 2 . 1 1 1 ≤ = ≤ + ε ≤ + ε ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ m A ∑m I ∑ I ∑ A m A i i i i i i 在上式里对 A 的所有有界开方体的覆盖取下确界得到 ( ) inf :{ } ( ) 2ε 1 1 , ≤ +       ≤ ⊂ ∗ ∞ = ∞ = ∗ m A ∑ I I A I m A i i i i i 是一列有界开区间 并且 ∪ . 由于ε > 0是任意的, 故(2)成立.■ L 可测集与 L 测度的逼近 我们知道Gδ型集和 Fσ型集都是 Borel 集, 当然也是 L 可 测集. 下面我们进一步考察 L 可测集的构造. 定理 6 设 A 为 n R 中的 L 可测集. 则 (i).对任意ε > 0, 存在开集G ⊃ A, 使得m(G − A) < ε. (ii). 对任意 ε > 0, 存在闭集 F ⊂ A, 使 得 m(A − F) < ε. 若 m(A) < +∞, 则 F 可以取为是有界闭集. (iii).存在Gδ型集 G ⊃ A, 使得m(G − A) = 0. (iv).存在 Fσ型集 F ⊂ A, 使得m(A − F) = 0. 证明 (i).先设 m(A) < +∞. 由定理 5, 存在一列覆盖 A 开方体{ }n I 使得 ( ) . 1 ∑ < + ε ∞ = I m A n n 令 , 1 ∪ ∞ = = n n G I 则 G 为开集, G ⊃ A并且 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ≤ ∑ = ∑ < + ε ∞ = ∞ = m G m I I m A n n n n 于是得到 m(G − A) = m(G) − m(A) < ε. 现在设 m(A) = +∞ . 设{ } Ei 一列互不相交的L可测集, 使得 m(Ei) < +∞ 并且 n R ∪ ∞ = = i 1 Ei . 令 A = A ∩ E , i ≥ 1. i i 则 m(Ai) < +∞并且 . 1 ∪ ∞ = = i A Ai 由上面所证的结果, 对每个i , 存在 开集 . 2 , ( ) Gi Ai m Gi Ai i ⊃ 使得 − < ε 令 . 1 ∪ ∞ = = i G Gi 则 G 是开集, G ⊃ A. 由于