银川能源学院《高等数学》救来 第三章徽分中值定理与导数的应甩 解这个函数的定义域为：(-o,+o). 函数的导数为：f'(x上6x2-18x+12=6(x-1)x-2).导数为零的点有两个：x =1、2=2. 列表分析： (-0,1] [1,2] [2,+o0) f(x) + + fx) 1 函数x)在区间(-o,1]和[2，+o)内单调增加，在区间[1,2]上单调减少 例5.讨论函数=x的单调性. 解函数的定义域为：(-0，+o) 函数的导数为：y=32.除当=0时，y=0外，在其余各点处均有y>0.因此函 数 y=x3在区间(-∞，0]及[0，+o)内都是单调增加的.从而在整个定义域：(-0，+o) 内是单调增加的.在=0处曲线有一水平切线 一般地，如果∫'(x)在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正 (或负)时，那么x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的， 例6.证明：当1时，2W>3-1 证明：令fw)=2G-6,则 r=女京t-0, 因为当>1时，∫'(x)>0,因此x)在[1，+o)上x)单调增加，从而当x1时， x)>1). 由于1)=0，故x)>1)=0,即 2G-6>0, 也就是2F>3-1(D1). 二、曲线的凹凸与拐点 凹凸性的概念： f(x)+f(x2) f(+f(x2) 2 2 作授 Ax) 几x) Ax1) N + +2 2 2 定义设x)在区间1上连续，如果对I上任意两点x1,x2,恒有 第9页银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 9 页 解 这个函数的定义域为:( ) 函数的导数为:f (x)6x2 18x 12  6(x1)(x2) 导数为零的点有两个 x1 1、x2 2 列表分析 ( 1] [1 2] [2 ) f (x)    f(x) ↗ ↘ ↗ 函数 f(x)在区间( 1]和[2 )内单调增加 在区间[1 2]上单调减少 例 5 讨论函数 yx 3 的单调性 解 函数的定义域为 ( ) 函数的导数为 y3x2  除当 x0 时 y0 外 在其余各点处均有 y0 因此函 数 yx 3在区间( 0]及[0 )内都是单调增加的 从而在整个定义域 ( ) 内是单调增加的 在 x0 处曲线有一水平切线 一般地 如果 f (x)在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正 （或负）时 那么 f(x)在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的 例 6 证明 当 x1 时 x x 1 2 3  证明 令 ) 1 ( ) 2 (3 x f x  x    则 ( 1) 1 1 1 ( ) 2 2     x x  x x x f x  因为当x1时 f (x)0 因此f(x)在[1, )上f(x)单调增加 从而当x1时 f(x)f(1) 由于 f(1)0 故 f(x)f(1)0 即 ) 0 1 2 (3  x x  也就是 x x 1 2 3 (x1) 二、曲线的凹凸与拐点 凹凸性的概念 定义 设 f(x)在区间 I 上连续 如果对 I 上任意两点 x 1 x 2 恒有 x1 x 2 y O x 2 1 2 x  x   2 1 2 x x f  2 ( ) ( ) 1 2 f x  f x f(x2 f(x1 ) ) x1 x 2 y O x 2 1 2 x  x   2 1 2 x x f  2 ( ) ( ) 1 2 f x  f x f(x2 f(x ) 1 )