银川能源学院《高等数学》教亲 第三章微分中值定理与导数的应用 k 2 那么称x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有 ) 2 那么称x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）. 定义'设函数=x)在区间1上连续，如果函数的曲线位于其上任意一 点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的：如果函数的曲线位于其上 任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间1上是凸的. 凹凸性的判定： 定理设x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么 (1)若在(a,b)内f"(x)>0,则x)在[a,b]上的图形是凹的； (2)若在(a,b)内f"(x)<0则x)在[a,b]上的图形是凸的 简要证明只证(1).设x,2x,2∈[a,b],且x1<2,记=+多 2 由拉格朗日中值公式，得 fx)-fx)=5x-x)=f5)西，，x<5<0, 2 f)=5-5)2,<点<， 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 f)+)-2fx)=[f5)-f5】 =f"52-5),i>0,点<5<5， 2 即片，生产)，所以x)在a上的图形是凹的. 拐点：连续曲线y=x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点. 确定曲线=)的凹凸区间和拐点的步骤： (1)确定函数=x)的定义域： (2)求出在二阶导数个“(x: (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点； (4)判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点； 注：根据具体情况(1)(3)步有时省略. 例1.判断曲线y=lnx的凹凸性. 解：-，= x2 因为在函数y=lnx的定义域(0，+oo)内，y"<0,所以曲线=lnx是凸的， 例2.判断曲线y=x3的凹凸性， 解：y'=3x2,y"=6x 由y"=0,得=0. 因为当x<0时，y"<0,所以曲线在(-o0]内为凸的； 因为当x>0时，y">0,所以曲线在[0，+∞)内为凹的. 第10页银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 10 页 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 2 x x f x f x f     那么称 f(x)在 I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧) 如果恒有 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 2 x x f x f x f     那么称 f(x)在 I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧) 定义 设函数 yf(x)在区间 I 上连续 如果函数的曲线位于其上任意一 点的切线的上方，则称该曲线在区间 I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上 任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间 I 上是凸的 凹凸性的判定 定理 设 f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有一阶和二阶导数 那么 (1)若在(a b)内 f (x)>0 则 f(x)在[a b]上的图形是凹的 (2)若在(a b)内 f (x)<0 则 f(x)在[a b]上的图形是凸的 简要证明 只证(1) 设 1 2 x , x x1 x2[a b] 且 x1x2 记 2 1 2 0 x x x    由拉格朗日中值公式 得 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 0 1 x x f x f x f x x f           1 1 0 x  x  2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 0 2 2 0 2 x x f x f x f x x f           0 2 2 x  x  两式相加并应用拉格朗日中值公式得 2 ( ) ( ) 2 ( ) [ ( ) ( )] 2 1 1 2 0 2 1 x x f x f x f x f f          0 2 ( )( ) 2 1 2 1      x x f     1  2  即 ) 2 ( 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f f x f x     所以 f(x)在[a b]上的图形是凹的 拐点 连续曲线 yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点 确定曲线 yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤 (1)确定函数 yf(x)的定义域 (2)求出在二阶导数 f` (x) (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点 注 根据具体情况（1）（3）步有时省略 例 1 判断曲线 yln x 的凹凸性 解 x y 1    2 1 x y    因为在函数 yln x 的定义域(0 )内 y<0 所以曲线 yln x 是凸的 例 2 判断曲线 yx 3 的凹凸性 解 y3x 2  y6x  由 y0 得 x0 因为当 x<0 时 y<0 所以曲线在( 0]内为凸的 因为当 x>0 时 y>0 所以曲线在[0 )内为凹的