§2对偶空间 设V是数域P上一个n维线性空间.V上全体线性函数组成的集合记作 L(,P).可以用自然的方法在L(V,P)上定义加法和数量乘法 设∫,g是V的两个线性函数定义函数∫+g如下 (f+g)a=f(a)+g(a),a∈ f+g也是线性函数: ∫+g)a+β)=∫(a+β)+g(a+B) =f(a)+f(B)+g(a)+g(B) (∫+g)a)+(∫+gβ), C+gka)=f(ka)+g(ka)=kf(a)+kg(a)=k(f+ga) f+g称为∫与g的和 还可以定义数量乘法设∫是V上线性函数,对于P中任意数k,定义函数kf 如下 (ka)=k(f(a),a∈, kf称为k与f的数量乘积,易证kf也是线性函数 容易检验,在这样定义的加法和数量乘法下,L(V,P)成为数域P上的线性 空间 取定V的一组基E1,E2,…En,作V上n个线性函数f1,2…,fn,使得 J≠l, 因为∫在基E1,E2…,En上的值已确定,这样的线性函数是存在且唯一的对V中 向量a=>x51,有 f(a)=x1, 即f(a)是a的第i个坐标的值§2 对偶空间 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作 L(V,P) .可以用自然的方法在 L(V,P) 上定义加法和数量乘法. 设 f , g 是 V 的两个线性函数.定义函数 f + g 如下： ( f + g) = f () + g(),  V . f + g 也是线性函数： ( )( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )             f g f g f f g g f g f g = + + + = + + + + + = + + + ( f + g)(k) = f (k) + g(k) = k f () + k g() = k( f + g)() . f + g 称为 f 与 g 的和. 还可以定义数量乘法.设 f 是 V 上线性函数，对于 P 中任意数 k ，定义函数 kf 如下： (kf )() = k( f ()) ,  V , kf 称为 k 与 f 的数量乘积，易证 kf 也是线性函数. 容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下， L(V,P) 成为数域 P 上的线性 空间. 取定 V 的一组基 n  , , , 1 2  ，作 V 上 n 个线性函数 n f , f , , f 1 2  ，使得 , 1, 2 , , . 0, , 1 , ; ( ) i j n j i j i f i j =      =  = (1) 因为 i f 在基 n  , , , 1 2  上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对 V 中 向量 = = n i i i x 1   ，有 i i f () = x , (2) 即 () i f 是  的第 i 个坐标的值