∑a1(q(u)don2…?d 1≤1<…<l≤n 是O经q的拉回 性质:拉回映射q*:A(D)→A(D)有如下性质 1)q*(o1+O2) ?dx,(k≤m),则 =a(()~ dn,?…?dlu, A(D),n∈A(D),k+l≤m,则 *(m 0*0)? 4)x=q()∈C(D)O∈/(D),r≥1,则 q*(do)=d(q*); ():GcR→DcR",v∈C(G ∈Cr+(D,l≤m≤ ∈AOD,k≤l, 证明:1)是平凡的 2)的证明.由定义 ax a((u) d du du.?…?dlt ∑∑-y hu.?…?d 1≤s1<2<…<≤m a du?…?dt 77 ( ) ( ( )) * ( ( )) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D du u x du u x a u a u d d k r i i n m j j j i m j j j i i i i i n i i i i k k k k k k k k k Î L ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = = å å å å £ < < £ = = £ < < £ L L L L L L ? ? ? ? j j w j j j 是w 经j 的拉回. 性质: 拉回映射 *: (D) (D) k r k j Lr ® L 有如下性质. 1） 1 2 * 1 * 2 j *(w +w ) = j w +j w ; 2） ( ) ( ) 1 a x dx dx k m k w = i ? L? i £ , 则 ( ) ( ) ; , , , , * ( ( )) 1 1 1 1 1 å£ < < £ ¶ ¶ = s i m s s s s i i k k k k du du u u x x a u L L L L j w j ? ? 3） D D k l m l r k w Î Lr ( ), h Î L ( ), + £ , 则 j * (w?h) = j *w?j *h ; 4） ( ) ( ), ( ), 1 1 = Î Î L ³ + x u C D D r k r r j w , 则 j * (dw) = d (j *w) ; 5） ( ) : , ( ), 1 u t G D C G l m r+ =y Ì R ® Ì R y Î ( ) : , ( ), , 1 x u D C D l m n n r = ® W Ì Î £ £ + j R j D k l k w Î Lr ( ), £ , 则 (j oy ) *w =y * (j *w). 证明: 1）是平凡的. 2） 的证明. 由定义 ( ) ( ) . , , , , ( ( )) ( ( )) ( 1) ( ( )) * ( ( )) 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , , ) [ , , ] , , 1 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k s s s s s m s s i i s s s s s m j i j i j j j j m j j j j j i j i m j j j i m j j j i du du u u x x a u du du u x u x a u du du u x u x a u du u x du u x a u ? ? ? ? ? ? ? ? L L L L L L L L L L L L L å å å å å å £ < < < £ £ < < < £ = = = ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = j j j j w j