这里关键是用了线性代数中k×k行列式 展开式 3)的证明.不妨设 a(x)dx. ? dx, n=b(x)dx ? dx *(o?m)=a(()b(p(a)dpn?…?4?dn?…?n ?0* 4)的证明.当k=0时,O=f(x)是个函数,do= dx,就是通常的一阶微 af(o(u)) 0) d x ax (q(u) yo(o(u) du, =d(o*o) 这就是一阶微分形式不变性 当k>0时,令O=a(x)dx1?…?tx Q*o=a(p(a)ldon?…?d =a(o()(x.)…?d(x.p) ?(o*x)…?d(a*x,) d(o0)=4(0*a)?{4(o*x,)…?l*x, x (d)?p*ax,?…?q*dx n?ax.?…?a *(do) 5)的证明.设O=a(x)dx.?…?ax,由 )d(xn°p…?d(x.°) 88 这里关键是用了线性代数中k ´k 行列式 ( ) ( ) k k s s i i u u x x , , , , 1 1 L L ¶ ¶ 展开式 k k k k j i j i j j j j u x u x ¶ ¶ ¶ ¶ å - L L L 1 1 1 1 ( , , ) [ , , ] ( 1) . 3） 的证明. 不妨设 ( ) , ( ) , 1 k 1 l i i j j w = a x dx ?L? dx h = b x dx ? L? dx 则 * * . *( ) ( ( )) ( ( )) 1 1 j w j h j w h j j j j j j ? ? ? ? ? ? ? = = k l a u b u d i L d i d j L d j 4） 的证明. 当k = 0 时, w = f (x) 是个函数, å= ¶ ¶ = n j j j dx x f d 1 w 就是通常的一阶微 分. ( * ), ( ( )) ( ( )) ( ( )) * ( ) 1 1 1 1 1 j w j j j j w du d u f u du u x x f u du u x dx x f u d m s s s m s n j s s j j n j m s s s j j j = ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ = å åå å å = = = = = 这就是一阶微分形式不变性. 当k > 0 时, 令 ( ) , 1 k i i w = a x dx ? L? dx ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ] [ ] * ( ). * * ( ) * * * * * ( * ) ( * ) * * * * * , ( ( )) * ( ( )) 1 1 1 1 1 1 1 j w j j j j j j j j w j j j j j j j j j j w j j j d da dx dx da dx dx a d d x d x d d a d x d x a d x d x a u d x d x a u d d k k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i = = = + = = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L L L L L o L o L 5） 的证明. 设 k i i a x dx ?L? dx 1 w = ( ) , 由 j w oj ( oj ) L ( oj ) k i i a u d x ? ? d x 1 * = ( )( ) 得